Un teorema de isomorfismo de las poleas.

Question

Deje $\varphi: \cal{F} \longrightarrow \cal{G}$ un morfismos de las poleas. Mi objetivo es demostrar que el $im\varphi \simeq \cal{F} / Ker \varphi$.

Mis pensamientos acerca de este problema:

1) $im \varphi(U) \simeq \cal{F}(U) / Ker \varphi(U)$ (un clásico resultado de abelian grupos).

2) Tenemos un isomorfismo entre las poleas del iff tenemos un isomorfismo entre sus tallos.

Answer 1

Su pensamiento número 1) implica que la presheaf $\mathcal{F}/\ker\varphi$ es isomorfo a la presheaf imagen de $\varphi$. Por lo tanto, la sheafifications de ambos presheaves son isomorfos, y hemos terminado.