Sistema de ecuaciones con raíces cuadradas

Question

Hola :) No tengo remedio con este ejercicio:

Resolver el sistema de ecuaciones sobre los números reales positivos

$$\sqrt{xy}+\sqrt{xz}-x=a$$

$$\sqrt{zy}+\sqrt{xy}-y=b$$

$$\sqrt{xz}+\sqrt{yz}-z=c$$

donde $a, b, c$ son números reales positivos.

He tratado de +, - y / las ecuaciones entre sí, pero din `t ver ningún resultado razonable. También los elevé a la potencia de dos y luego contar,,, tuve esta solución

$z+\sqrt{yz}-\sqrt{xy}-x=\frac{a^{2}}{2x}-\frac{c^{2}}{2z}$

un amigo mío trató de contar las tres ecuaciones juntas y obtuvo esto

$2(\sqrt{xy}+...)-(x+...)=a +b+c$

$2(\sqrt{xy}+...)-((\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2-2(\sqrt {xy}+...))=a +b+c$

$4(\sqrt {xy}+...)-(\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2=a+b+c$

Pero ambos no sabemos qué hacer con eso.

¿Conoces algún método razonable para resolver este sistema?

Muchas gracias.

Answer 1

Podemos resolver el sistema de la siguiente manera (aunque no estoy seguro de que sea "razonable") :

Tenemos $$\sqrt y+\sqrt z-\sqrt x=\frac{a}{\sqrt x}\tag1$$ $$\sqrt z+\sqrt x-\sqrt y=\frac{b}{\sqrt y}\tag2$$ $$\sqrt x+\sqrt y-\sqrt z=\frac{c}{\sqrt z}\tag3$$ Desde $(1)$ , $$\sqrt z=\sqrt x-\sqrt y+\frac{a}{\sqrt x}\tag4$$

Desde $(2)(4)$ , $$\sqrt x-\sqrt y+\frac{a}{\sqrt x}+\sqrt x-\sqrt y=\frac{b}{\sqrt y},$$ es decir $$2\sqrt x-2\sqrt y+\frac{a}{\sqrt x}-\frac{b}{\sqrt y}=0$$ Multiplicando ambos lados por $\sqrt{xy}$ da $$2x\sqrt y-2y\sqrt x+a\sqrt y-b\sqrt x=0,$$ es decir $$y=\frac{2x\sqrt y+a\sqrt y-b\sqrt x}{2\sqrt x}\tag5$$

Desde $(3)(4)$ , $$\sqrt x+\sqrt y-\left(\sqrt x-\sqrt y+\frac{a}{\sqrt x}\right)=\frac{c}{\sqrt x-\sqrt y+\frac{a}{\sqrt x}},$$ es decir $$\frac{2\sqrt{xy}-a}{\sqrt x}=\frac{c\sqrt x}{x-\sqrt{xy}+a}$$ Multiplicando ambos lados por $\sqrt x\ (x-\sqrt{xy}+a)$ da $$2x\sqrt{xy}-2xy+3a\sqrt{xy}-ax-a^2=cx,$$ es decir $$y=\frac{2x\sqrt{xy}+3a\sqrt{xy}-ax-a^2-cx}{2x}\tag6$$

Desde $(5)(6)$ , $$\frac{2x\sqrt y+a\sqrt y-b\sqrt x}{2\sqrt x}=\frac{2x\sqrt{xy}+3a\sqrt{xy}-ax-a^2-cx}{2x},$$ es decir $$\sqrt y=\frac{a^2+(a-b+c)x}{2a\sqrt x}\tag7$$

Desde $(5)(7)$ , $$\left(\frac{a^2+(a-b+c)x}{2a\sqrt x}\right)^2=\frac{(2x+a)\frac{a^2+(a-b+c)x}{2a\sqrt x}-b\sqrt x}{2\sqrt x},$$ es decir $$\frac{(a^2+(a-b+c)x)^2}{4a^2x}=\frac{(2x+a)(a^2+(a-b+c)x)-2abx}{4ax}$$ Multiplicando ambos lados por $4a^2x$ da $$(a^2+(a-b+c)x)^2=a((2x+a)(a^2+(a-b+c)x)-2abx),$$ es decir $$x((a^2-b^2+2bc-c^2)x+a^3-a^2b-a^2c)=0$$ Por último, desde $(7)(4)$ , $$\color{red}{x=\frac{a^2(b+c-a)}{(a+b-c)(c+a-b)},\quad y=\frac{b^2(c+a-b)}{(b+c-a)(a+b-c)},\quad z=\frac{c^2(a+b-c)}{(b+c-a)(c+a-b)}}$$

Answer 2

He aquí algunas ideas que, en retrospectiva, le ahorran los largos cálculos.

Observa que tu sistema de ecuaciones es cíclico en las variables (x,y,z) y (a,b,c). Es decir, la siguiente ecuación se deriva de la anterior desplazando todas las variables una posición ( $x \to y$ y simultáneamente $a\to b$ etc.), donde la última variable se convierte en la primera. Esto requiere una solución que también es cíclica, es decir, una vez que se ha encontrado $x=F(a,b,c)$ entonces $y=F(b,c,a)$ y $z = F(c,a,b)$ .

Declarar una función desconocida $f$ y cíclico $g,h$ es decir $f=f(a,b,c)$ entonces $g=f(b,c,a)$ y $h = f(c,a,b)$ .

Ahora no se pierde la generalidad al escribir la solución propuesta como

$$ x = a^2 \frac{{f}}{{g} {h}}$$

lo que implica

$$ y = b^2 \frac{{g}}{{h} {f}} \quad ; \quad z = c^2 \frac{{h}}{{f} {g}}$$

Entonces su naturaleza cíclica general de $x,y,z$ se da.

Por supuesto, aquí es donde entra la retrospectiva. Dado que si no tienes ni idea de la estructura de la solución (véase la respuesta de mathlove), probablemente no elegirías ese ansatz. Sin embargo, al introducirla en tus ecuaciones las cosas se ven bien, ya que obtienes

$$ gh = b g + ch - af\\ hf = - b g + ch + af \\ fg = bg - ch + af $$

De nuevo, este sistema es cíclico.

De la estructura de estas ecuaciones, $f,g,h$ puede elegirse como una suma ponderada de las constantes $a,b,c$ . Como el sistema es cíclico, necesitamos hacer esto sólo para una ecuación. Con la incógnita $A,B,C$ , escriba $f = A a+ Bb + Cc$ entonces $g = A b+ Bc + Ca$ y $h = A c+ Ba + Cb$ . La primera ecuación es

$$ (A b+ Bc + Ca)(A c+ Ba + Cb) - b (A b+ Bc + Ca) - c(A c+ Ba + Cb) + a(A a+ Bb + Cc) = 0 $$

La clasificación da

$$ a^2(BC+A) + b^2(AC-A)+c^2(AB-A) + ab(AB+C^2-C+B) +bc(A^2+BC-B-C) + ac(AC+B^2-B+C) =0 $$

Todos los coeficientes deben desaparecer. $AB-A = 0$ da $B=1$ entonces $AC-A = 0$ da $C=1$ , $BC+A = 0$ da $A= -1$ . Por lo tanto, $A=-1$ , $B=1$ , $C=1$ y de hecho todos los coeficientes desaparecen.

Esto da inmediatamente la solución final.

La parte del "cálculo" sólo consistió en la muy fácil determinación de $A,B,C$ .