Es el grupo diédrico $D_n$ ¿nilpotente? ¿soluble?
Estoy tratando de resolver este problema pero he intentado aplicar un par de teoremas pero no he tenido éxito hasta ahora. ¿Puede alguien ayudarme?
¿Podría explicarse el voto negativo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Teorema: $D_n$ es nilpotente si $n=2^i$ para $i\geq0$ .
La siguiente es la prueba dada aquí :
( $\Rightarrow$ ) Supongamos $D_{2n}$ es nilpotente. Sea $p$ sea un primo impar que divide a $n$ . Entonces $r^{n/p}$ es un elemento de orden $p$ en $D_{2n}$ en particular, $r^{n/p} \neq r^{-n/p}$ . Ahora $|s| = 2$ y $|r^{n/p}| = p$ son relativamente primos, por lo que $sr^{n/p} = r^{n/p}s$ una contradicción. Por lo tanto, ningún primo impar divide $n$ y tenemos $n = 2^k$ .
( $\Leftarrow$ ) Procedemos por inducción en $k$ , donde $n = 2^k$ .
Para el caso base, $k = 0$ , tenga en cuenta que $D_{2 \cdot 2^0} \cong Z_2$ es abeliano, por lo tanto nilpotente.
Para el paso inductivo, supongamos $D_{2 \cdot 2^k}$ es nilpotente. Consideremos $D_{2 \cdot 2^{k+1}}$ tenemos $Z(D_{2 \cdot 2^{k+1}}) = \langle r^{2^k} \rangle$ y así, $D_{2 \cdot 2^{k+1}}/Z(D_{2 \cdot 2^{k+1}}) \cong D_{2 \cdot 2^k}$ es nilpotente. Por lo tanto, $D_{2 \cdot 2^{k+1}}$ es nilpotente.
Teorema: $D_{2n}$ es solucionable para todos los $n\geq1$ .
Para demostrarlo, utilizaré el hecho anterior (véase aquí ).
Cuando $n=1$ , $D_{2n}\cong \mathbb{Z}_2$ que es nilpotente y, por tanto, resoluble. Cuando $n>1$ , $D_{2n}/\langle a\rangle\cong\mathbb{Z}_2$ y $\langle a\rangle \cong \mathbb{Z}_n$ . Ambos $\mathbb{Z}_n$ y $\mathbb{Z}_2$ son nilpotentes y, por tanto, ambas son resolubles. Como extensiones de grupos solubles son solubles, $D_{2n}$ es solucionable para todos los $n>0$ .
Joe
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Una prueba general de que $D_n$ es solucionable para todos los $n \geq 1$ .
Aquí está la serie normal con cocientes abelianos: $$\{e\} \trianglelefteq \langle \sigma \rangle \trianglelefteq D_n$$
$$\langle \sigma \rangle/\{e\} \cong \mathbb{Z}_n, D_n/\langle \sigma \rangle \cong \mathbb{Z}_2$$ ambos obviamente abelianos, por lo tanto $D_n$ es solucionable.
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Estimado usuario, uno de los hechos más básicos sobre el grupo diedro de orden $2n$ es que contiene un subgrupo normal y cíclico de rotaciones de orden $n$ con índice $2$ . Si no ves de inmediato que esto implica que el grupo diédrico es soluble, entonces probablemente sería una buena idea repasar cuidadosamente los antecedentes relevantes de esta cuestión, para que tu intuición se ponga al día con tu comprensión formal. (Lo que quiero decir es que, mientras que la nilpotencia puede ser un poco más sutil, para la solubilidad no debería ser una cuestión de aplicar teoremas, sino simplemente combinar la definición ...
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... con las propiedades estructurales básicas del grupo diédrico). Saludos,