¿Cuál es el valor esperado de los módulos de trabajo?

Question

Un sistema eléctrico se compone de $k$ módulos. En cada módulo, hay $N$ resistencias en serie. ¿Cuál es el valor esperado de los módulos de trabajo si $m$ ¿se rompe la resistencia? Un módulo no funciona si hay al menos $1$ resistencia mala en él.

Puedo calcular los casos triviales (por ejemplo, $m=1$ o $m>(k-1)*N$ ), pero no puedo encontrar la solución general.

Para $m\leq N$ Creo que puedo usar la distribución binomial: La probabilidad de que un módulo tenga $n$ la resistencia mala es $$p(n)=\binom{N}{n}\left(\frac{1}{N}\right)^n\left(1-\frac{1}{N}\right)^{N-n}$$ y tendríamos que sumar esta probabilidad para cubrir todos los casos posibles y multiplicarlos con $1, 2, \dots N$ para obtener el valor esperado, pero parece ser una suma muy grande.

Recompensa: Me gustaría mucho tener una solución a este problema, así que he iniciado una recompensa.

Answer 1

La probabilidad de que el primer módulo no tenga resistencias malas es la probabilidad de que el $m$ las resistencias malas están en el otro $k-1$ módulos que por un argumento de conteo es $\dfrac{{N(k-1) \choose m}}{{Nk \choose m}}$ - y puedes tomar esto como $0$ si $m \gt N(k-1)$

Por lo tanto, el número esperado de módulos de trabajo es $$k\dfrac{{N(k-1) \choose m}}{{Nk \choose m}}$$