Una serie en un espacio de Hilbert que converge incondicionalmente pero sólo en topología débil

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert. Estoy buscando un ejemplo de una serie $\sum x_n$ con las dos propiedades siguientes:

• $\sum x_n$ no converge, es decir, las sumas parciales no tienen un límite en la topología de la norma de $H$ ;
• $\sum x_n$ converge incondicionalmente en la topología débil, es decir, para cada biyección $\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ las sumas parciales de la serie reordenada $\sum x_{\sigma(n)}$ convergen débilmente.

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Progresos realizados hasta el momento : se consideraron algunas secuencias débilmente convergentes, pero no fuertemente convergentes, y las series correspondientes. En todos los casos la convergencia débil resultó ser condicional. Por ejemplo: dejemos que $e_n$ sea una base ortonormal, y considere $x_1=e_1$ , $x_n = e_n - e_{n-1}$ para $n>1$ . Entonces las sumas parciales de $\sum x_n$ son precisamente los vectores $e_n$ que convergen a cero débilmente pero no en la norma. Sin embargo, esta convergencia débil es condicional: si tomamos sólo los elementos pares $$x_2+x_4+x_6+\dots = (e_2-e_1) + (e_4-e_3) + (e_6-e_4)+\dots$$ la norma de las sumas parciales tiende a $\infty$ e incluyendo un número impar $x_n$ una vez en un millón de términos no cambiará eso. Como una secuencia débilmente convergente debe estar acotada, la serie reordenada no converge débilmente.

Answer 1

Voy a ampliar la referencia dada por Kavi Rama Murthy . En Espacios lineales normalizados En el capítulo IV, sección 1, M.M. Day considera cuatro definiciones que se parecen a la convergencia incondicional de una serie $\sum x_n$ (en un espacio localmente convexo $L$ ):

(B) Convergencia reordenada existe $x$ tal que $\sum x_{\pi(n)} =x$ para cada biyección $\pi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$
(C) Convergente desordenado existe $x$ tal que para cada vecindad $U$ de $x$ existe un conjunto finito $E\subset \mathbb{N}$ con la propiedad de que $\sum_{n\in F}x_n\in U$ para todo conjunto finito $F$ que contiene $E$ .
(D) Subserie convergente para toda secuencia creciente de números enteros $(n_k)$ la serie $\sum x_{n_k}$ converge.
(E) Convergente con multiplicador limitado para toda secuencia acotada de escalares $(a_n)$ la serie $\sum a_n x_n$ converge.

En cada LCS se tiene $(E)\implies (D)\implies (C) \iff (B)$ . Además, si se sustituye el requisito de convergencia en (B, C, D, E) por la propiedad de Cauchy, todas las condiciones resultantes son equivalentes. Por lo tanto, si $L$ es secuencialmente completa, entonces (B, C, D, E) son equivalentes en $L$ .

Teorema 1 (página 80) : Dejemos que $B$ sea un espacio de Banach. Si $\sum x_n$ es subserie convergente en la topología débil de $B$ entonces es subserie convergente en la topología de la norma de $B$ .

Por lo tanto, si $B$ es débilmente secuencialmente completa, entonces no hay ejemplos del tipo que estaba buscando. Todos los espacios reflexivos y todos los $L^1$ son débilmente secuenciales. ( Referencia ).

Answer 2

No existe tal ejemplo. El teorema 1, p. 80 De los espacios lineales normados de M. M. Day (Tercera edición) implica que si la serie es incondicionalmente convergente en la topología débil entonces $\sum x_n$ converge en la norma.