Conjunto de números complejos

Question

Deje $f(z) \in \mathbb{C}[z]$ con deg$(f) \geq 1$. A continuación, $\{z \in \mathbb{C} : |f(z)| > 1\}$ está conectado.

Sé que $f(z)$ es holomorphic, por lo que continua en $\mathbb{C}.$ no creo que la preimagen de un conjunto conectado de forma continua mapa está siempre conectado.

Ahora sólo sé que $\{z \in \mathbb{C} : |f(z)| > 1\}$ es abierto ya que es exactamente el conjunto de $|f|^{-1}((1,\infty)).$

Answer 1

Desde el conjunto contiene el exterior de un círculo grande $C$, sin duda hay un componente que contiene a $\infty$, que también contiene el exterior de $C$.

Supongamos que la afirmación no es verdadera. Luego habrá otro componente conectado,$D$, que está dentro de $C$. Desde $\lvert f\rvert$ es continua $D$ es un dominio compacto. Aplicar el máximo módulo de principio a $f$ en $D$: $\lvert f\rvert$ se lleva a su máximo en el límite de $D$, pero $\lvert f\rvert \geq 1$ en el interior de $D$ por la definición de $D$, lo $D$ debe ser constante, lo cual es una contradicción.