Spivak Cálculo 4 ° edición, Capítulo 2, Ejercicio 13a, Comprender la prueba de que$\sqrt3$ es irracional.

Question

Enunciado Del Problema:

Demostrar que $\sqrt3$ es irracional. Sugerencia: tratar A $\sqrt3$ utilizar, por ejemplo, el hecho de que cada entero es de la forma $3n$, $3n+1$ o $3n+2$.

La solución de las "Respuestas" del Capítulo:

Desde $$ \\ (3n+1)^2 = 9n^2 +6n + 1 = 3(3n^2+2n)+1 \\ (3n+2)^2 = 9n^2 +12n + 4 = 3(3n^2+4n +1)+1 $$ Se procede entonces a afirmar que si $k^2$ es divisible por 3, entonces también lo es $k$. Tengo un tiempo difícil la comprensión de lo $k$ que está hablando en estas ecuaciones, no ha sido definido anteriormente. Después continúa:

Supongamos $\sqrt3$ fueron racional, y deje $\sqrt3 = p/q$ donde $p$ $q$ no tienen ningún factor común. A continuación,$p^2=3q^2$, lo $p^2$ es divisible por 3, por lo $p$ debe ser. Por lo tanto, $p=3p'$ para algún número natural $p'$ y, en consecuencia, $(3p')^2=3q^2$ o $3(p')^2=q^2$. Por lo tanto, $q$ también es divisible por 3, una contradicción.

Tengo un tiempo difícil la vinculación de la primera parte donde dice que "$k^2$ son divisibles por 3 conduce a $k$ ser divisible por 3" y la segunda parte. De dónde viene la primera conclusión?

NOTA: Planteamiento del problema en el libro de la misma manera que las solicitudes de la prueba de $\sqrt5$ $\sqrt6$ ser irracional. Sin embargo, en esta pregunta, estoy interesado en la prueba para el caso de $\sqrt3$.

Answer 1

Deje $k$ ser un número entero. Se puede tomar una de las siguientes formas: $3n$ o $3n+1$ o $3n+2$ donde $n$ es simplemente el cociente de la distancia euclídea de la división de $k$$3$.

Ahora:

• si $k=3n$ $k^2 = 9n^2$
• si $k=3n+1$, $k^2 = 3\times ... +1$ (no nos interesa el valor exacto de $...$), con lo $k^2$ no es múltiplo de $3$
• si $k=3n+2$,$k^2 = 3\times ... +1$, lo $k^2$ no es múltiplo de $3$.

Por lo tanto, si $k^2$ es múltiplo de 3, entonces $k$ no puede ser de la forma $3n+1$ o $3n+2$. Por lo tanto, debe ser de la forma$3n$, $k$ debe ser múltiplo de 3.

Por lo tanto, si $k^2$ es múltiplo de $3$, $k$ es también múltiplo de $3$.

Answer 2

La declaración

Si$k^2$ es divisible por$3$, entonces también lo es$k$.

contiene todos los enteros$k$. Él usa este hecho a continuación para$k=p$ y para$k=q$.

Answer 3

En la primera parte, Spivak demuestra que de un número no es un múltiplo de$3$ (es decir, si es del tipo$3n+1$ o$3n+2$), entonces su cuadrado no es un múltiplo de$3$. Por lo tanto, si el cuadrado es un múltiplo de$3$, entonces el número en sí mismo también debe ser un múltiplo de$3$.