Demostrar

Question

¿Qué le sugiere la siguiente desigualdad? $$\frac{1}{2\sqrt{2}+1}+\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{100\sqrt{100}+99\sqrt{99}}<\frac{9}{10}$$

Gracias de antemano!

SIS.

Editar: basado en la solución bonita Sasha, voy a intentar señalar un atajo posible.
Podamos observar y usar el hecho de que
$$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$ $ porque % $ $$(a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})\ge0$

Answer 1

$$ \sum_{m=1}^{99} \frac{1} {(m+1) ^ {3/2} + m ^ {3/2}} < \sum_{m=1}^{99} \left (\frac {1} {\sqrt {m}}-\frac{1}{\sqrt{m+1}} \right) = \frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{99+1}} = \frac{9}{10} $$ la desigualdad anterior es verdad desde: $$\begin{eqnarray} \frac{1}{(m+1)^{3/2} + m^{3/2}} &=& \frac{1}{\sqrt{m}\sqrt{m+1}} \left( \frac{m+1}{\sqrt{m}} + \frac{m}{\sqrt{m+1}} \right)^{-1} \\ &=& \frac{1}{\sqrt{m}\sqrt{m+1}} \left( \sqrt{m} + \sqrt{m+1} + \frac{1}{\sqrt{m}} - \frac{1}{\sqrt{m+1}} \right)^{-1} \\ &<& \frac{1}{\sqrt{m}\sqrt{m+1}} \frac{1}{ \sqrt{m} + \sqrt{m+1} } \\ &=& \frac{1}{\sqrt{m}} - \frac{1}{\sqrt{m+1}} \end{eqnarray} $$