Las raíces de $x^8-3$ $GF(17)$

Question

Deje $\beta$ ser una raíz de $x^8-3$$GF(17)$. Encontrar todos los demás raíces en $GF(17)(\beta)$. ¿Cuál es el grado de $\beta$$GF(17)$?

Mi enfoque fue a ver para que $\alpha\in GF(17)$, $\alpha^8=1$ como luego tenemos a $(\alpha\beta)^8=\beta^8=3$ $\alpha\beta$ es también una raíz.

Esto requirió de una amplia cálculo y el resultado es $\alpha=1,2,4,8,9,13,15,16$. Tiene que haber una manera mejor de hacer esto?

Del mismo modo ¿cómo puedo concluir que el grado de $\beta$$GF(17)$$8$, otros que por la comprobación de al$\beta^{17^n}=\beta$$n=1,\dots,8$.

Edit: Para aquellos que buscan la respuesta a mi segunda pregunta es

$$\beta^{17^n}=2^{7n}\beta$$

$2^{7n}=1$ al $7n$ es un múltiplo de a $8$. Desde $7,8$ co-prime, el más pequeño de tales $n=8$. Por lo $x^8-3$ es el polinomio mínimo de a $\beta$ y, por tanto, irreductible. Así que el grado de $\beta$$GF(17)$$8$.

Answer 1

Tenga en cuenta que $2^4 = -1$, lo $2$ es una primitiva de la octava de la raíz de la unidad.

Por lo tanto, si $\beta$ es una de las raíces de $x^8-3$, entonces todas las raíces se $2^n \beta$.