Si $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)= 5760$, ¿cuáles son los posibles valores de $x$?

Question

Yo estaba haciendo algunas preguntas relacionadas con ecuaciones cuadráticas y me topé con esta pregunta: la Resolución de la ecuación $$(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)= 5760.$$

Una de las sugerencias fue que la convierte en una ecuación cuadrática.

Traté, pero no pude conseguir nada significativo. ¿Hay alguna forma en que yo lo puedo resolver bi-cuadrática ecuaciones rápido?

(Lo siento si esto golpea tan básico, tan solo soy una highschooler.)

Answer 1

$$ (x+1) (x+3) (x+5) (x+7) = 5760 $$

La ecuación tiene una simetría alrededor de 4. Podemos usarlo para reemplazar con $ y = x + 4 $ se convierte en:

$$ (y-3) (y-1) (y+1) (y+3) = 5760 $$

o

$$ (y^2-9) (y^2-1) = 5760 $$

Ahora, en sustitución de con $ z = (y^2-5) $ se convierte en:

$$ (z-4) (z+4) = 5760 $$

o

$$ z^2-16 = 5760 $$

$$ z^2 = 5776 $$

Así nos encontramos con que: $z = 76$ o $ z = -76 $

y luego trabajar hacia atrás, para encontrar$y$$x$,

Answer 2

En general, cuárticas han cerrado en forma de soluciones, pero no son fáciles. Por ejemplo, esta imagen en wikipedia escribe las fórmulas para cuárticas.

En este caso, si se multiplica todo lo que fuera, se podría utilizar el racional de la raíz teorema del factor como @Dr. SonnhardGraubner. Esto requiere un poco de aritmética y realmente no se utilice la estructura del problema.

En este problema, si se mira en los factores de la izquierda, se puede ver que las condiciones que se agregan son simétricas alrededor de $4$ (en otras palabras, $1$ y $7$, $3$ y $5$). Por lo tanto, tiene sentido el cambio de la variable $x$$4$. En otras palabras, vamos $$ x=y-4. $$ Después de la sustitución, se obtiene $$ (y-3)(y-1)(y+1)(y+3)=5760. $$ Reordenando esta como diferencias de cuadrados, se obtiene $$ (y^2-9)(y^2-1)=5760. $$ A continuación, utilice la sustitución de $z=y^2$ para reducir el cuarto grado de una ecuación cuadrática. En otras palabras, se obtiene $$ (z-9)(z-1)=5760. $$ Esto se puede resolver con la fórmula cuadrática después de multiplicar todo lo que fuera. Como alternativa, utilice @ypercube del enfoque de la utilización de la simetría de nuevo, para hacer esto aún más fácil es una buena idea también.

Answer 3

No hay ninguna necesidad de simetría, ya que $$(x+1)(x+7)(x+3)(x+5)= 5760$$ así $$(x^2+8x+7)(x^2+8x+15)= 5760$$ Poner $t=x^2+8x+11$ y obtenemos $$(t-4)(t+4) = 5760\implies t= \pm \sqrt{5776} = \pm 76$$ por lo $t^2+8t+11 = \pm 76$ así que...