Deje $X, Y$ ser vectores de longitud $n$ de manera tal que cada elemento es un iid Uniforme de la variable aleatoria en $[0,1]$.
Definir $Z$ por
$$Z = \sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$$
donde $$\varphi(i) = \begin{cases} X_{i}^{2} + Y_{i}^{2} & \text{if %#%#%}\\ 0 &\text{otherwise}. \end{casos}$$
Parece que (creo que no es necesario poner la expectativa de aquí, pero he usado más adelante, cuando describe la ecuación (1).)
$X_{i}^{2} + Y_{i}^{2}<1$$
pero no estoy seguro de por qué, o incluso si mi conjetura en realidad tiene. (Me siento como que hay una dolorosamente obvio intuición geométrica que sólo va a la derecha por encima de mi cabeza.)
No he sido capaz de llegar muy lejos en el problema. Pero a continuación es mi mejor oportunidad. Como he progreso a través de este trabajo, me da la impresión de que estoy escribiendo cada vez más dudosa ecuaciones, pero esto es lo más cerca que se puede llegar a cualquier cosa, incluso que contiene una constante en varios de $$\mathbb{E}[\lim_{n\rightarrow \infty}8Z/n] = \pi$.
Me parece que $\pi$ y que esta es una variable aleatoria de Bernoulli.
Desde allí, pude ver que si $\mathbb{P}[\varphi(i)\neq 0] = \pi/4$ fueron definidos por
$$\bar{\varphi}(i) = \begin{cases} 1 & \text{if %#%#%}\\ 0 &\text{otherwise}. \end{casos}$$
Creo que tenemos que
\begin{equation} \mathbb{E}[Z] = \mathbb{E}[n \bar{\varphi}(1)] = n\pi/4, \quad (1) \end{equation}
pero no tengo idea de cómo manejar la suma de $\varphi(i)$'s aquí. Hay una razonable intuición geométrica por qué $X_{i}^{2} + Y_{i}^{2}<1$ parece converger a $X^{2}_{i} + Y_{i}^{2}$?
Si yo, ingenuamente, que trate de escribir
$Z/n$$
A continuación, ya que $\pi/8$, $$\mathbb{E}[Z] = \mathbb{E}[n\varphi(1)] = \mathbb{E}[n(X^{2} + Y^{2})]\mathbb{P}[\varphi(i)\neq 0]$
Entonces podemos obtener
$\mathbb{E}[X^{2}] - \mathbb{E}[X]^{2} = 1/12$$
lo que no parece contener en mis experimentos numéricos.
