Si $f$ es un medibles campo aleatorio, a continuación, $(ω,x)↦E[f(x)\mid F](ω)$ tiene un medibles versión $g$ $E[f(X)\mid F]=g(X)$ todos los $F$medible $X$

Question

Vamos

• $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ ser un espacio de probabilidad
• $\mathcal F\subseteq\mathcal A$ $\sigma$- álgebra en $(\Omega,\mathcal A)$
• $(E,\mathcal E)$ ser un espacio medible
• $f:\Omega\times E\to\mathbb R$ $\mathcal A\otimes\mathcal E$medible

Voy a escribir $f(x)$ en lugar de $f(\;\cdot\;,x)$ $x\in E$ $f(X)$ en lugar de $f(\;\cdot\;,X(\;\cdot\;))$$X:\Omega\to E$. Asumir $$\operatorname E\left[\left|f(x)\right|\right]<\infty\;\;\;\text{for all }x\in E.\tag1$$ By a monotone class argument, it's easy to show that there is a $\mathcal F\otimes\mathcal E$-measurable $g:\Omega\times E\a\mathbb R$ with $$\operatorname E\left[f(x)\mid\mathcal F\right]=g(x)\;\;\;\text{almost surely for all }x\in E.\tag2$$

He encontrado el siguiente ejercicio en el libro Estocástico y Flujos de Ecuaciones Diferenciales Estocásticas (Ejercicio 1.4.11): Vamos a $X:\Omega\to E$ $\mathcal F$medible con $$\operatorname E\left[\left|f(X)\right|\right]<\infty.\tag3$$ Show that $$\operatorname E\left[f(X)\mid\mathcal F\right]=g(X)\;\;\;\text{almost surely}.\tag4$$ ¿Cómo podemos demostrar que?

Por desgracia, no tengo ninguna idea para un argumento. No creo que el autor se ha olvidado de añadir un crucial supuesto, pero sin embargo he tratado de considerar el caso en que $E$ es un espacio métrico separable, $\mathcal E$ es el Borel $\sigma$-álgebra en $E$ $f(\omega,\;\cdot\;)$ es continua para allmost todos los $\omega\in\Omega$.

Con esa suposición es fácil ver que $(4)$ está a menos satisfechos si $X$ tiene rango finito. Ahora, desde la $E$ es separable, podemos encontrar una secuencia $(X_n)_{n\in\mathbb N}$ $\mathcal F$- funciones medibles $X_n:\Omega\to E$ con rango finito tal que $$d(X_n,X)\le d(X_{n+1},X)\;\;\;\text{for all }n\in\mathbb N\tag5$$ and $$d(X_n,X)\xrightarrow{n\to\infty}0.\tag6$$ sin Embargo, no sé cómo tenemos que proceder a partir de aquí.

Entonces, la pregunta es: ¿Cómo podemos demostrar que la reclamación en el caso general, y, si eso no es posible, ¿cómo debemos proceder en el caso especial?

Answer 1

En primer lugar, nos damos cuenta de que $g$ no es única, por lo que se denota cualquier válido candidato por $g_{f}$.

Considere la siguiente `fórmula" con conexión variable $f$:

$\varphi(f):$ Si $f:\Omega\times E\rightarrow\mathbb{R}$ $\mathcal{A\otimes\mathcal{E}}$medible y $E\left[|f(x)|\right]<\infty$ todos los $x\in E$, entonces para cualquier $\mathcal{F}/\mathcal{E}$medible mapa de $X:\Omega\rightarrow E$ con $E\left[|f(X)|\right]<\infty$, $E\left[f(X)\mid\mathcal{F}\right]=g_{f}(X)$ $P$- .e. para algunos candidato válido $g_{f}$.

Vamos a demostrar que $\varphi(f)$ es cierto para todos los $\mathcal{A}\otimes\mathcal{E}$medible mapa de $f:\Omega\times E\rightarrow\mathbb{R}$ que satisface $\forall x\in E$, $E\left[|f(x)|\right]<\infty$ considerando los siguientes casos.

Caso 1: $f=1_{A\times B}$ donde$A\in\mathcal{A}$$B\in\mathcal{E}$. Por verificación directa, $g_{f}(x)=1_{B}(x)E\left[1_{A}\mid\mathcal{F}\right]$ es un candidato válido. (Aquí, se corrige una opción para la esperanza condicional $E\left[1_{A}\mid\mathcal{F}\right]$. Deje $X$ ser un mapa, a continuación, \begin{eqnarray*} E\left[f(X)\mid\mathcal{F}\right] & = & E\left[1_{A}1_{B}\circ X\mid\mathcal{F}\right]\\ & = & 1_{B}\circ X\cdot E\left[1_{A}\mid\mathcal{F}\right]\\ & = & g_{f}(X) (a.e.) \end{eqnarray*} mediante la observación de que $1_{B}\circ X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ $\mathcal{F}$- medible. Esto demuestra que $\varphi(f)$ es verdadera siempre que $f$ es de la forma $f=1_{A\times B},$ donde$A\in\mathcal{A}$$B\in\mathcal{E}$.

Caso 2: $f=1_{C}$ donde $C\in\mathcal{A}\otimes\mathcal{E}$. Definir $\mathcal{P=}\{A\times B\mid A\in\mathcal{A}\mbox{ and }B\in\mathcal{E}$} y $\mathcal{D}=\{C\in\mathcal{A}\otimes\mathcal{E}\mid\varphi(1_{C})\mbox{ is true.}\}$. Claramente $\mathcal{P}$ $\pi$- clase (es decir, $\mathcal{P}$ es cerrado bajo intersección finita.) Es de rutina para comprobar que $\mathcal{D}$ es una $\lambda$-clase (en el sentido de que: $\emptyset\in\mathcal{D}$, $C^{c}\in\mathcal{D}$ siempre $C\in\mathcal{D}$, e $\cup_{i=1}^{\infty}C_{i}\in\mathcal{D}$ siempre que $C_{i}\in\mathcal{D}$ $C_{i}\cap C_{j}=\emptyset$ siempre que $i\neq j$.). Por El Caso 1, $\mathcal{P}\subseteq\mathcal{D}$. Por Dynkin Teorema, tenemos $\sigma(\mathcal{P})\subseteq\mathcal{D}$. Tenga en cuenta que $\mathcal{D}\subseteq\mathcal{A}\otimes\mathcal{E}=\sigma(\mathcal{P})$. Por lo tanto,$\mathcal{D}=\mathcal{A}\otimes\mathcal{E}$.

Caso 3: $f$ es un simple $\mathcal{A}\otimes\mathcal{E}$medible la función. Afirman que la linealidad y por el resultado del Caso 2.

Caso 4: $f:\mathcal{A}\otimes\mathcal{E}\rightarrow[0,\infty)$ es un no-negativo $\mathcal{A}\otimes\mathcal{E}$medible de la función. Afirman que la monotonía teorema de convergencia (Aquí, también necesitamos monotono teorema de convergencia, la esperanza condicional de la versión).

Caso 5: $f:\mathcal{A}\otimes\mathcal{E}\rightarrow\mathbb{R}$. Escribir $f=f^{+}-f^{-}$.