Sistema no lineal de ecuaciones sobre los enteros positivos — más incógnitas que ecuaciones

Question

Este ejercicio apareció en alemán en línea de tutoría de la junta y me llamó la atención, pero tropezó conmigo durante horas. La tarea es encontrar los 6 distintas positivo de tres dígitos enteros satisfactoria:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=4.198$
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}=3.215.224$
$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}+x_{5}^{3}+x_{6}^{3}=2.600.350.972$

De acuerdo a la potencia media de la desigualdad o de Cauchy-Schwarz, los números deben encuentran relativamente cerca una de otra. Sin embargo, una breve búsqueda conducen a ninguna parte. Por simplicidad, me puse $4.198=A$, $3.215.224=B$ y $2.600.350.972=C$ y, a continuación, mi planteamiento era manipular las tres ecuaciones y tal vez de usar que no cuadrado es negativo. Por ejemplo
$6B-A^{2}=\sum_{i<j}(x_i-x_j)^{2}=(x_{1}-x_{2})^2+(x_{1}-x_{3})^2+...+(x_{2}-x_{3})^2+...+(x_{5}-x_{6})^2$ donde cada par distinto aparece exactamente una vez.
Ahora si $6B-A^{2}$ resultado sería algo como
$5*1^{2}+4*2^{2}+3*3^{2}+2*4^{2}+1*5^{2}=105$ podríamos decir exactamente lo que nuestros $x$ fueron. Por desgracia se da $1.668.140$ y no podemos concluir mucho.
Similar razonamiento con el factoring a $\sum_{i<j}(x_i-x_j)^{4}$ no ayuda.
Si existe una factorización, mi intuición me dice que sólo tendría sentido si el $x$ forman una progresión aritmética, de lo contrario obtendríamos diferentes factores en el lado derecho que no puede aparecer en el lado izquierdo. (¿es esto razonable?) Pero la sustitución no da ninguna solución. También, no sé lo que otros, más sofisticados de la factorización me llevaría a la solución.
Me estoy quedando sin ideas, ¿cómo puede este problema se resuelva?

Los enlaces para el problema original:
https://www.geocaching.com/geocache/GC69JE0_lotto-mal-anders https://www.gutefrage.net/frage/matherechenart-gesucht-mehrere-variablen-mit-festen-ergebnis?foundIn=unknown_listing

Answer 1

Suponga que $x_1<x_2<\cdots < x_6$.

1er paso.

Entonces $$6x_1<<6x_6; \\ 6x_1^2<B<6x_6^2; \\ 6x_1^3<C<6x_6^3;$$

o (cuando nota que $\dfrac{A}{6}\approx 699.66$, $\sqrt{\dfrac{B}{6}}\approx 732.03$, $\sqrt[3]{\dfrac{C}{6}}\approx 756.76$):

$$x_1\le 699; x_6\ge 700;$$ $$x_1\le 732; x_6\ge 733;$$ $$x_1\le 756; x_6\ge 757;$$

Por lo tanto, tenemos restricciones para el más pequeño y el más grande de los números: $$x_1\le 700, x_6 \ge 757.$$

2º paso.

Podemos bruteforce valores de $x_1,x_2,x_3,x_4, x_5$, y, a continuación, calcular el $x_6 = A - (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)$, y, a continuación, comprobar si las cantidades son correctas.
Pero se tarda $5$ recorre aproximadamente casi $900$ valores posibles.

Para reducir el $1$ loop:

fuerza bruta valores de $x_1,x_2,x_3,x_4$;

denotar $s_1 = x_1+x_2+x_3+x_4$, $s_2 = x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$; y a continuación se derivan de $x_5$$x_6$: $$x_5+x_6 = A - s_1; \\ x_5^2+x_6^2 = B - s_2;$$ así $$x_5 x_6 = \dfrac{(x_5+x_6)^2-(x_5^2+x_6^2)}{2} = \dfrac{(s_1)^2 - (B-s_2)}{2}.$$

Y $x_5,x_6$ son raíces del polinomio $$w^2 - (x_5+x_6)w + x_5x_6;$$

entonces el discriminante $$D = 2(B-s_2)-(A-s_1)^2$$ debe ser un número cuadrado.

Con este enfoque, uno puede encontrar (en un tiempo razonable) que ...
(por favor omita esta estropeado cuadro si usted va a tratar de resolver este problema personalmente)

$$(x_1,\ldots,x_6) = (365, 438, 789, 821, 877, 908).$$

Y tal vez esta no es la única solución.

Answer 2

Pruebe el método de Newton Sumas. Deje $$P_i=x_1^i+x_2^i+x_3^i+x_4^i+x_5^i+x_6^i$$ Deje $f(x)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g=0$ tienen raíces $x_1,x_2,x_3,...,x_6$ We want to find the values of $a,b,c,...,g$ so as to find the roots of $f(x)$. This will furnish us with the values of $x_1,x_2,x_3,...,x_6$. También, $$\begin{array} { l l l } e_1 & = \sum x_i & = - \frac{b}{a} \\ e_2 & = \sum x_i x_j & = \frac{ c } { a} \\ e_3 & = \sum x_i x_j x_k & = - \frac{ d } { a} \\ & \vdots & \vdots \\ e_6 & = \sum \prod x_i & = \frac{g} { a}. \end{array}$$ Por último, la relación de recurrencia para $P_i$ para un polinomio de grado $k$ es como sigue:

Para $i \leq k - 1$, tenemos las fórmulas

$\begin{array} { l l l l } P_0 & = k \\ P_1 & = e_1 \times 1 \\ P_2 & = e_1 P_1 - e_2 \times 2 \\ P_3 & = e_1 P_2 - e_2 P_1 + e_3 \times 3 \\ & \vdots \\ P_{k-1} & = e_1 P_{k-2} - e_2 P_{k-3} + \cdots + (-1)^{k-3} e_{k-2} P_1 + (-1)^{k-2} e_{k-1} \times (k-1). \end{array}$

Para $i \geq k$, tenemos la fórmula

$$P_i = \sum_{j=1}^k (-1)^{j+1} e_j P_{i-j} = e_1 P_{i-1} - e_2 P_{i-2} + \cdots + (-1)^{k+1} e_k P_{i-k}. \ _\square$$ Por lo tanto $P_1=4198, P_2=3215224,P_3=2600350972$ Pero, $$P_1=e_1$$ $$P_2=e_1P_1-2e_2$$ $$P_3=e_1P_2-e_2P_1-3e_3$$

Now, $$4198=e_1$$ $$3215224=(4198)(4198)-2e_2\Rightarrow e_2=7203990$$ $$2600350972=(4198)(3215224)-(7203990)(4198)-3e_3\Rightarrow e_3=-868113246$$ In this way, "recreate" $f(x)$ by evaluating $e_4,e_5,e_6$ (de ahí la determinación de los valores de la los coeficientes de $a$, $b$,...,$g$), y las raíces de la 'recrea' $f(x)$ serán los valores de $x_1,x_2,...,x_6$

Answer 3

Encontrar 6 distintas positivo de tres dígitos enteros de satisfacciones

$$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=A=4198\tag1$$ $$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}=B=3215224\tag2$$ $$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}+x_{5}^{3}+x_{6}^{3}=C=2600350972\tag3$$

Como $B\equiv 0{\pmod{8}}$, el cuadrado de los residuos de$\pmod{8}$ $(0,4,1,1,1,1)$, $(4,4,4,4,4,4)$ o $(0,0,0,0,0,0,0)$

Sin embargo, $C\equiv 4{\pmod{8}}$, lo $(4,4,4,4,4,4)$ $(0,0,0,0,0,0,0)$ son rechazados.

WLOG, $x_{1}> x_{2}$$x_{3}> x_{4}>x_{5}>x_{6}$,

Por lo tanto, tenemos

$x_{1}$ , y en el rango de $(102,998)$

$x_{2}$ , y en el rango de $(100,x_{1}-2)$

$x_{1}+x_{2}\equiv 2{\pmod{4}}$

$x_{3}$ impares y en el rango de $(107,999)$

$x_{4}$ impares y en el rango de $(105,x_{3}-2)$

$x_{5}$ impares y en el rango de $(103,x_{4}-2)$

$x_{6}$ se calcula fácilmente a partir de la otra $x$, pero debe ser impar y en el rango de $(101,x_{5}-2)$

Ahora podemos considerar un programa. Empecé a usar la ecuación de $(1)$, pero el gigantesco volumen de las soluciones fue abrumadora.

La ecuación de $(3)$ era mucho más rápido, aunque todavía hay un gran número de resultados, por lo que sólo he reportado casos donde $(1)$ o $2$, o ambos, también fueron satisfechos.

El programa es esencialmente como el anterior, con un par de ajustes de optimización.

Yo precalculados los cuadrados y los cubos de $100$$999$.

Para$x_{3}$$x_{5}$, que calcula los valores máximo y mínimo, la reducción de la búsqueda de rango cuando sea posible.

Mis resultados

La solución encontrada por @Oleg567 es único.

Hay sólo una solución que satisface las ecuaciones de $(2)$$(3)$, pero no $(1)$

$$(746,120,939,815,751,731)$$

Hay $1107$ soluciones que satisfacen las ecuaciones de $(1)$$(3)$, pero no $(2)$

El programa utilizado en $22$ minutos de la CPU.