Un trigonométricas integral (deducido a partir de una combinatoria de la fórmula)

Question

En clase, he definido el coeficiente binomial mediante una integral:

$$\binom{n}{k} = \displaystyle \int_0^{2\pi}\dfrac{dt}{2\pi} e^{-ikt}(1+e^{it})^n.$$

Tuve éxito en la demostración de muchas propiedades estándar del coeficiente binomial directamente a través de la integración: Pascal de su identidad, de Vandermonde de identidad, palo de Hockey. Pero yo no podía demostrar que $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=2^n.$$

Resulta que tengo para mostrar lo siguiente:

$$\int_{0}^{2\pi}\dfrac{dt}{2\pi}\dfrac{\sin\left(\dfrac{(n+1)t}{2}\right)}{\sin\dfrac{t}2}\cos^n\dfrac{t}{2}=1$$

No sé cómo llevar a cabo esta integración! Necesito ayuda. Es mejor si la solución no implican el contorno de la integración.

Answer 1

Sugerencia

Aviso que dentro de la integral tenemos $$\frac {\sin\left(\frac {(n+1)t}{2}\right)}{\sin\frac t2}$$ which is equal to $D_{\frac n2}$ where $D_n$ denota el kernel de Dirichlet.

Por lo tanto el uso de las propiedades que hemos $$\frac {\sin\left(\frac {(n+1)t}{2}\right)}{\sin\frac t2}=D_{\frac n2}=1+2\sum_{r=1}^{\frac n2} \cos (rt) $$

Espero que puedan seguir adelante

Answer 2

Hay un error en mi presentación que se me escapa, pero la esencia es la siguiente.

El uso de $$\sum_{k=1}^{\infty} p^{k} \, \sin(k \, x) = \frac{p \, \sin(x)}{1 - 2 \, p \, \cos(x) + p^{2}}$$ a continuación, vamos a $S_{n}$ ser el deseado sumatoria a ser evaluados para obtener: \begin{align} S_{n} &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \\ &= \frac{1}{2 \pi} \, \int_{0}^{2\pi} \left(2 \, \cos\left(\frac{t}{2}\right)\right)^{n} \, \frac{\sin\left(\frac{(n+1) \, t}{2} \right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)} \, dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \, \int_{0}^{2\pi} \left(2 \, \cos\left(\frac{t}{2}\right)\right)^{n+1} \, \frac{\sin\left(\frac{(n+1) \, t}{2} \right)}{\sin(t)} \, dt \end{align} Ahora, \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} S_{n} &= \frac{1}{2 \pi} \, \int_{0}^{2\pi} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} \left(2 \, \cos\left(\frac{t}{2}\right)\right)^{n+1} \, \sin\left(\frac{(n+1) \, t}{2} \right)\right] \, \frac{dt}{\sin(t)} \\ &= \frac{1}{2 \pi} \, \int_{0}^{2\pi} \left[ \sum_{n=1}^{\infty} \left(2 \, \cos\left(\frac{t}{2}\right)\right)^{n} \, \sin\left(\frac{n \, t}{2} \right)\right] \, \frac{dt}{\sin(t)} \\ &= \frac{1}{2 \pi} \, \int_{0}^{2 \pi} \frac{2 \cos\left(\frac{t}{2}\right) \sin\left(\frac{t}{2}\right)}{1 - 4 \cos^{2}\left(\frac{t}{2}\right) + 4 \cos^{2}\left(\frac{t}{2}\right)} \, \frac{dt}{\sin(t)} \\ &= \frac{1}{2\pi} \, \int_{0}^{2 \pi} dt = 1 \\ &= - (-1) = - \frac{1}{1 - 2} = - \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}. \end{align}

Este rendimientos $$\sum_{n=0}^{\infty} \binom{n}{k} = - 2^{n}.$$

Como se ha dicho, el error que se me escapa es la señal de error.

Answer 3

El uso de la inducción matemática. Caso Base $n=0$, ok!
Suponemos que es cierto para un número natural arbitrario $n$. Desde $$ \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} = \sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k} + \binom{n+1}{n+1} $$ Utilizando su definición, $\binom{n+1}{n+1}$ es igual a $1$, a continuación, utilizando la identidad de Pascal $$ \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k}+\binom{n}{k-1} \text{ for all } 1\leqslant k\leqslant n $$ Usted obtiene lo siguiente : $$ \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} = 2^n + 2^n - 1 +1 = 2^{n+1}$$