¿Qué hace que los radianes sean superiores a las vueltas/revoluciones?

Question

1. EL CONTEXTO DEL PROBLEMA

Esta pregunta se me ocurrió cuando estaba explorando los exponentes complejos. La identidad clave para calcular expresiones con exponentes complejos es la identidad de Euler:

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

Esto nos permite calcular, por ejemplo, qué $2^i$ es mediante alguna manipulación algebraica. El cálculo es el siguiente:

$$2^i=e^{\ln2^i}=e^{i\ln2}=\cos\ln2+i\sin\ln2\;\approx\;0.769+0.639i$$

2. EL PROBLEMA

Una pregunta surge en mi cabeza. Calculamos los senos y cosenos con los valores del radián. Y como $\ln2\approx0.693$ entonces $\sin\ln 2$ será el $y$ coordenada del círculo unitario cuando el ángulo es $0.693$ radianes . Pero si utilizamos vueltas en lugar de radianes, entonces $\sin\ln 2$ será el $y$ coordenada del círculo unitario cuando el ángulo es $0.693$ gira . Por lo tanto, el valor del seno cuando se utilizan vueltas o radianes es diferente. Del mismo modo, el valor del coseno es diferente.

Pero eso crea un problema. Cuando se utiliza radianes , $2^i$ se calcula en aproximadamente $0.769+0.639i$ . Pero cuando se utiliza gira , $2^i$ se calcula en aproximadamente $0.994+0.110i$ .

3. POSIBLES IMPLICACIONES

El problema anterior ilustra que $2^i$ y cualquier expresión con exponente complejo es una generalización que depende directamente de las unidades que utilicemos para los ángulos.

Sólo hay dos posibilidades del "estado de verdad" que implica este hecho. O bien Los exponentes complejos son un concepto completamente inventado por los humanos, lo que significaría que expresiones como éstas son realmente indefinidas para el código del universo (sólo lo hacemos definido porque pensamos que los radianes son las verdaderas unidades angulares), o debe haber una unidad que sea la más verdadera para medir los ángulos, ya sean radianes o cualquier otra cosa.

Si la primera afirmación es cierta, entonces esto significaría que podemos aceptar $2^i$ para ser $0.769+0.639i$ . Al fin y al cabo, este concepto estaría definido por radianes sólo porque lo definimos así.

Sin embargo, si la segunda afirmación es cierta, hay que plantearse aún más preguntas. Si existe una unidad "verdadera" para medir ángulos, ¿cuál es? Tal vez los radianes sean realmente la unidad más verdadera, lo que significa que $2^i$ es inequívocamente $0.769+0.639i$ pero si es así, ¿qué justifica este hecho? ¿Qué hace que los radianes sean más verdaderos que los giros?

Answer 1

La definición real del mapa exponencial complejo se realiza de forma equivalente a través de una EDO ( $f'=f$ , $f(0)=1$ ) o mediante series de potencias ( $f(z)= \sum_{k\geq 0}\frac{z^k}{k!}$ ).

Del mismo modo, las funciones coseno y seno se definen sobre todo mediante series de potencias. Si vas a cambiar la forma de medir los ángulos y, por tanto, definir una nueva versión distorsionada del seno y el coseno, lo más natural sería decir que la fórmula de Euler simplemente no se sostiene en tu nueva configuración. O podrías usarla como una nueva definición para un mapa exponencial distorsionado, pero entonces qué es más importante para ti: el hecho de que Euler se mantenga, o el hecho de que $\exp$ satisface la EDO anterior?

Todas las matemáticas se basan en el hecho de que estamos de acuerdo con los axiomas, el lenguaje y las definiciones. La naturalidad de éstos depende de la belleza de los teoremas resultantes para el ojo entrenado.

Answer 2

La cuestión principal aquí es que la fórmula de Euler es correcta sólo para los radianes. Tus preguntas surgen por usarla con giros en lugar de radianes, pero estás partiendo de una premisa falsa.

A menudo, el orden en que aprendemos las cosas no equivale a la definición matemática más precisa de las mismas.

Por ejemplo, en la escuela primero aprendemos la exponenciación con exponentes naturales, luego generalizamos para los enteros e incluso los racionales, pero ¿qué pasa con los exponentes irracionales, por ejemplo? El mejor camino a seguir si buscas precisión matemática (y eso es lo que te sugiero hacer aquí) en este caso es considerar la definición de la función exponencial como la función no nula que satisface la propiedad $f(x+y) = f(x)f(y)$ . Y luego, si se va más lejos a los números complejos, se verá que en realidad hay que elegir lo que se llama una rama de la función logaritmo, y así sucesivamente.

De hecho, $2^i$ puede tener más de un valor, dependiendo de la elección de la rama, pero normalmente tomamos el llamado rama principal . En cualquier caso, todo esto es un montaje para reiterar que si vas a la propia definición de exponenciación compleja / logaritmo complejo principal, verás que la fórmula de Euler sólo se aplica a los radianes en primer lugar, por lo que tu premisa es falsa.

Answer 3

Aunque Arnaud Mortier ha dado una respuesta muy buena, me gustaría hacer otra observación muy sencilla: que consideres el cambio a ciegas de las unidades de sólo algunos de los valores, pero se olvidó de comprobar y actualizar la fórmula/constantes/etc.

Esto es algo que siempre hay que tener en cuenta cuando se trata de física, electrónica, etc., donde es común utilizar varias unidades para el mismo tipo de valores, y a menudo mantenemos las marcas de las unidades todo el tiempo (piensa en Ohm: no sólo 10/0,5=10, sino 5V/0,5A => 10Ohm, etc.) sobre todo para no olvidarlos y mezclarlos.

Veo que has intentado formalizar la pregunta, así que perdóname si mi respuesta es demasiado ingenua o demasiado floja..

Pero, veamos. Para el típico triángulo genérico (planar/Euclid/..):

$${\alpha}+{\beta}+{\gamma} = {\pi}$$

Si utilizo radianes para todos los ángulos de entrada, todo va bien:

$$\pi/4+\pi+\pi/4 = {\pi}$$

Pero si intento usar giros o grados, todo se desvirtúa:

$$45+90+45 = {\pi}$$

Eso es a menos que la constante PI se adapte también a los giros/grados .

$$45+90+45 = 180$$

Pero ese es el caso fácil. La suma es una operación lineal, por lo que el cambio de unidades ("escala", "multiplicador", etc.) en un lado implica la necesidad de cambiar las unidades en el otro lado (a+b=c => (kx+ky)=c => x+y=c/k => x+y=z // a=kx,b=ky,c=kz, todas las unidades se mantienen iguales, se puede hacer "a ciegas")

En tu caso, empezaste a preguntarte sobre el uso de giros y grados en:

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

pero:

• en primer lugar, hay algunas constantes (e, i) y ni siquiera has intentado actualizarlas a las nuevas unidades
• Y lo que es más importante, algunas de las operaciones no son lineales (exponente), por lo que las unidades no se "transferirán sin más al otro lado"

Esto sólo nos recuerda que debemos mantener la fórmula actualizada con nuestros supuestos. Ahora, si tenemos en cuenta las unidades, podríamos actualizar la fórmula:

$$e^{i(\theta/2\pi)}=\cos(\theta/2\pi)+i\sin(\theta/2\pi)$$

que funcionaría en los giros.. Supongo que es bastante obvio y simplista, pero eso es porque elegí la adaptación más simple posible, sólo porque quería mostrar el punto de por qué las unidades importan.

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Otra cosa que acabo de notar, es que has dicho lo del seno/coseno:

sin(ln2) será la coordenada y del círculo unitario cuando el ángulo sea 0,693 radianes . Pero si utilizamos giros en lugar de radianes, entonces sin(ln2) será la coordenada y del círculo unitario cuando el ángulo sea 0,693 gira

En mi opinión, una vez más, el hecho de dejar las unidades te obligó a cometer un error.

Si definimos sin/cos en términos numéricos abstractos, solemos utilizar convencionalmente los radianes. Sin embargo, al menos en mi país, en la escuela primaria, el concepto de "pi" y "radián" es demasiado, por lo que utilizan grados (0°-360°) y el sin/cos se define en términos de grados (también conocido como "escala de grados"), por lo que sin(0) = sin(180) = sin(360) = 0 , sin(90)=1 etc.

Observe cómo eso es ambigua a otros lectores? Si no lo dijera explícitamente, ¿los 360 podrían leerse también como radianes? Es fácil decir que 360 es probablemente grados, pero ¿qué tal 1,123?

Si ahora guardamos realmente unidades en mente, debería haberlo escrito sin ambigüedades, algo así como sin(0°) = sin(180°) = sin(360°) = 0 , sin(90°)=1 etc. - si yo se supone que sin/cos que se definirá en degs .

Por otro lado, si yo se supone que sin/cos a definir en rads entonces tendría que traducir todas las constantes en consecuencia (0,,2,/2), o "actualizar la fórmula" y escribir sin(0°/(360°/2)) = sin(180°/(360°/2)) = sin(360°/(360°/2)) = 0 porque ahora pasar un grado, o giro, sería fuera de su dominio definido ..

Answer 4

En cierto sentido, $2^i$ está definida de forma única. Si se acepta la definición de $2^i= e^{\log(2)i}$ entonces podríamos utilizar otra definición de $e^x$ para calcular el valor. Por ejemplo, la expansión de Maclaurin de $e^x$ .

Por otro lado, no existe una verdadera unidad de medida, sino que hacemos una elección para que las felices coincidencias funcionen.

Answer 5

¿Qué hace que los radianes sean más verdaderos que los giros?

Bueno, si no más cierto, ¿qué tal "más conveniente"? ¿En el cálculo diferencial simple?

Dibuja un ángulo al azar. El seno de ese ángulo tiene un valor fijo. Pero el valor numérico del tamaño del ángulo en sí variará, dependiendo de si usas grados, o grados, o radianes, o revoluciones, o cualquier otra unidad de nicho.

Por lo tanto, el valor de la relación $$\frac{\sin (\theta)}\theta$$ dependerá de las unidades utilizadas.

Si se realiza este ejercicio para ángulos cada vez más pequeños, esta relación se aproxima a $1$ sólo si se utilizan radianes.

Por último, si se intenta aplicar la definición fundamental de la derivada de una función como límite a la función seno, esta misma razón queda desordenando el resultado. Tan conveniente es ignorarla como si fuera igual a $1$ .