¿Puede contener un grupo no trivial su funcionamiento?

Question

Estoy buscando ejemplos de grupos que contienen su propio funcionamiento como un elemento. Estoy teniendo dificultad para mostrar que esto no es posible para grupos de tamaño mayor que 1, pero contraejemplos son también difíciles de alcanzar.

Tomando el conjunto $S=\{f\}$
Si definimos
$f:(S \times S) \to S$
$f(f,f)=f$
A continuación, se puede construir un grupo de $G$ en el conjunto de $S$ operación $f$. La identidad de $G$$f$, y este grupo satisface todas las propiedades requeridas.

Mi pregunta es: ¿hay grupos de tamaño mayor de 1 que contienen su funcionamiento como un elemento?

Answer 1

Pensar acerca de todo esto, usted tendrá que trabajar en un mal fundada la teoría de conjuntos, que permite a los conjuntos contienen a sí mismos: en particular, el conjunto normal de teoría de la descripción de su $f$ $f={(f,f)}$ contradice el Axioma de Fundación de la norma de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos.

Vas a tener un problema similar, tratando de incluir una operación del grupo como un elemento en un grupo más grande. Si tengo algún grupo $(G,f), f:G\to G,$ $f$ contiene un elemento $(f,g)=\{f,\{f,g\}\}$ que contiene $f$ que contiene un elemento que contiene a $f$ que...es una regresión infinita.

Así que la respuesta dentro de los más comunes-marco teórico es que no existe el grupo.