Deje que $A$ sea el conjunto de todos los estados posibles del mundo, que $G(A)$ ser el conjunto de todas las "loterías" o "juegos de azar", es decir, el conjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobre $A$ . Ahora considere un individuo con un orden de preferencia de las diversas loterías en $G(A)$ . Entonces el Teorema de von Neumann-Morgenstern afirma que, suponiendo que las preferencias del individuo obedecen a ciertas condiciones de racionalidad, existe una función $u: A \rightarrow \mathbb {R}$ de tal manera que el orden de preferencia del individuo maximiza el valor esperado de $u$ . Además, la función $u$ es único hasta las transformaciones lineales, es decir, maximizar el valor esperado de $u$ y maximizar el valor esperado de $a + bu$ producen resultados equivalentes.
Ahora considera una sociedad con N individuos, donde las preferencias de cada individuo obedecen a los axiomas de von Neumann Morgenstern. Entonces podemos definir una función de bienestar social $W = a_1u_1 + a_2u_2 + ... + a_Nu_N$ donde $u_i$ es la función de utilidad de von Neumann-Morgenstern para la $i^{ \textrm {th}}$ individual, y $a_i$ es la reciprocidad de la utilidad marginal del dinero para la $i^{ \textrm {th}}$ individual. Como se muestra en este hilo , $W$ está bien definido, porque es invariable bajo las transformaciones lineales de la $u_i$ 's. Más importante para nuestros propósitos, es mi entendimiento que maximizar $W$ logrará una Resultado óptimo de Kaldor-Hicks . (¿Alguien puede respaldarme en esto, y preferiblemente decirme dónde puedo encontrar una prueba?)
Mi pregunta es, ¿cómo es que El teorema de la imposibilidad de Arrow se aplican a un orden de preferencia social basado en la eficiencia de Kaldor-Hicks? Específicamente, dados dos resultados en $A$ ¿qué pasaría si dejamos que el orden social prefiera el resultado que tiene un mayor valor de W? El teorema de Arrow, como se suele decir, es sobre reglas que son mapas de $L(A)^N$ a $L(A)$ es decir, reglas que toman el orden de preferencia de cada individuo en la A, y luego escupen un orden de preferencia social en la A. ( $L(A)$ es el conjunto de órdenes lineales del conjunto $A$ .)
Pero la regla que estoy describiendo no se basa sólo en las preferencias de cada individuo que ordena en $A$ (sus preferencias por ciertos resultados), sino en su función de utilidad von Neumannn-Morgenstern $u$ es decir, en su orden de preferencia en $G(A)$ también (sus preferencias bajo incertidumbre). Entonces, ¿hay generalizaciones del teorema de Arrow que tratan con mapas de $L(G(A))^N$ a cualquiera de los dos $L(G(A))$ o en su defecto, mapas de $L(G(A))^N$ a $L(A)$ como es el caso de la regla que estoy describiendo? Si se aplica una extensión del teorema de Arrow, ¿qué dice sobre esta regla? ¿Qué condiciones obedece o no obedece la regla?
Cualquier ayuda sería muy apreciada.
Gracias por adelantado.
