Que $p(x)=x^6-13x^4-20x^3+x^2-x+2$ $C$ ser la matriz del compañero del $p(x)$.
¿Cómo puedo encontrar una matriz primitiva similar a $C$?
¿Hay un método general para transformar la matriz del compañero con una raíz Perron en una matriz primitiva?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Spencer
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No se hace la pregunta correcta; de hecho muestran que el polinomio mínimo de una Escalinata número (cf. abajo) no es necesariamente el polinomio característico de una primitiva integral de la matriz.
Deje $\lambda>0$.
Def 1. Una Escalera es un número real entero algebraico superior a $1$ y estrictamente mayor que el módulo de todos los de su algebraicas conjugados.
Def 2. $\lambda$ es un H-número de iff no es un número entero $k\geq 1$ s.t. $\lambda^k$ es un Perron número que no tiene real positivo algebraicas conjugado.
Proposición 1. $\lambda$ es un H-número de iff es una raíz de un polinomio $z^n-\sum_{i=0}^{n-1}a_iz^i$ cuando la $a_i$ son enteros no negativos y $a_0\not= 0$.
Proposición 2. $\lambda$ es un Perron número de iff es el radio espectral de una primitiva integral de la matriz.
Proposición 3. $\lambda$ es un H-número de iff es el radio espectral de una primitiva integral compañero de la matriz.
Aquí su polinomio $p$ es irreductible; por lo tanto todas las matrices con polinomio característico $p$ son similares a $C_p$, el compañero de la matriz de $p$. Por otro lado, las máximas de la raíz de $\lambda\approx 2.25$ $p$ es un Perron número, pero no de un H-número. De acuerdo con la Proposición 2, $\lambda$ es el radio espectral de una primitiva integral de la matriz $A$. De acuerdo a su respuesta, $A$ tiene dimensión $>6$. Construir una matriz de $A$, cf. el papel de Lind
Considere el polinomio irreducible $q=x^6-13x^4-20x^3-x^2-x-2$; su máxima raíz de $\approx 2.78$ es un H-número (Proposición 1). Deje $C_q$ ser la compañera de la matriz de $q$; podemos ver que ${C_q}^8$ es un resultado positivo de la matriz.
Usted puede leer también el papel de Miss Bassino
Duopixel
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¿Cada polinomio con una raíz Perron tiene una representación de la matriz primitiva?
He encontrado un contraejemplo, por lo que en general la respuesta es no!
Que $p(x)=x^6-4x^4-5x^3+10x^2-12x+6$ y Supongamos que A es una matriz no negativa
similar a la compañía matriz $C$ $p(x)$. $Tr(A^k)\ge0$ Para cada número natural $k$, pero
$Tr(C^4)=-8
Por lo tanto, $p(x)$ no tiene matriz primitiva representación.
