Topología débil no es metrizable: lo que ' s mal en esta prueba

Question

Deje $(X,\|\cdot\|)$ ser una de infinitas dimensiones normativa espacio vectorial, y Supongamos que la topología débil en $X$ es metrizable por una métrica $d$. Cómo se abre de $\tau_d $ debe ser la misma que la topología débil, tenemos que por cada $n$ el balón $B^d(0,\frac{1}{n})$ mus ser no trivial en el subespacio, se tiene la siguiente construcción:

Elegir en cada una de las $B^d(0,\frac{1}{n})$ $x_n$ tal que $\|x_n\|=n$, por lo que tenemos $x_n\rightharpoonup x$ pero $\|x_n\|\to \infty$. Que es un absurdo, porque sabemos que la secuencia de $(\|x_n\|)$ está acotada.

Mi pregunta radica en el hecho de que en el Brezis libro:

http://www.springer.com/mathematics/analysis/book/978-0-387-70913-0

exercice de 3.8 hay una prueba de secuencia de comandos, la cual utiliza hasta Baire teorema! No puedo concebir por qué utilizar una complicada demostración cuando no hay una manera mucho más simple prueba, si la prueba es correcta

Answer 1

La prueba parece correcta. La asunción que $X$ es infinito dimensional se utiliza para mostrar que $B^d(0,1/n)$ contiene un subespacio no trivial y el argumento debería ser detallado un poco más porque no es sencillo. El conjunto de $B^d(0,1/n)$ contiene un subconjunto abierto de la forma $O:=\bigcap_{j=1}^N{x,|f_j(x)|0$. Hay $y\neq 0$ tal que $f_j(y)= 0$para cada $j\in {1,\dots,N}$de % de % ya cuenta con una dimensión $X$ $\geqslant N+1$.