con un promedio de números en un círculo

Question

Supongamos que usted ha $n$ números de $a_1, \dots, a_n$ dispuestos en un círculo. Sustituir cada número con el promedio de sus vecinos, yo.e, reemplace$a_1$$\frac{a_n+a_2}{2}$, e $a_2$$\frac{a_1+a_3}{2}$, y así sucesivamente. Si usted no esta lo suficientemente muchas veces van a los números de ser aproximadamente igual?

Dar una respuesta negativa incluso para $n$ no es difícil, pero estoy interesado en un análisis cuidadoso del problema. Puedo demostrar que la matriz de esta operación, decir $A$, es diagonalizable y tiene los autovalores $\lambda_k=\cos(2\pi k/n)$$k=0, 1, \dots, n-1$. Así, en el caso de que $n$ es impar todos los autovalores de satisfacer $|\lambda_k|<1$ a excepción de $\lambda_0=1$. Y al $n$ es incluso, $k=n/2$ da el autovalor $-1$.

Cuál sería una buena estrategia para acabar la solución a partir de aquí? (Siéntase libre de sugerir un método diferente si usted prefiere...)

Nota: Este aparece como un bebé "problema" en Kirillov de notas (página 7) en la Mentira grupos, pero la solución que da no es muy completa.

Answer 1

La matriz de la operación, $A$, es simétrica, y por lo tanto tiene ortogonal de vectores propios. Definir $q_i$ $i$ésimo vector propio. Deje $u_0$ ser la versión vectorizada de la primera serie de números: $u_0 := [a_1 \; a_2 \; \dots \; a_n]$ . Podemos expresar $u_0$ en términos de $q_i$ \begin{align*} u_0 = \sum_{i=1}^n \alpha_i q_i. \end{align*} para algunos $\alpha_i$, $i=1,\dots,n$. Luego de la aplicación de la operación $A$ $k$ veces daría el vector \begin{align*} u_k=A^k u_0 = A^k \sum_{i=1}^n \alpha_i q_i = \sum_{i=1}^n \alpha_i A^k q_i = \sum_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i^k q_i, \end{align*} donde $\lambda_i$ $i$th autovalor de a $A$.

Siguiente, tenga en cuenta que $\mathbf{1}$ (todos vector) es un autovector de a $A$ con autovalor 1 desde $A\mathbf{1} = \mathbf{1}$.

Para $n$ extraño, ya que todos los $\lambda_i$'s, excepto en uno (es decir $\lambda_0$) satisfacer $|\lambda_i|<1$ (y, por tanto,$\lambda_i^k \to 0$), tenemos que \begin{align*} u_k \to \lambda_0^k \alpha_0q_0 = \alpha_0 \mathbf{1}, \end{align*} la que se muestra el resultado deseado. Al $n$ es incluso, hemos \begin{align*} u_k \to \alpha_0 \mathbf{1} + (-1)^k \alpha_n q_n, \end{align*} donde $q_n$ es el autovector correspondiente al autovalor -1. Por tanto, para $n$ hasta el segundo término de las causas de la oscilación.