Deducción Natural

Question

Dadas las siguientes premisas:

P AND Q 1.
P IMPLIES R 2.
Q IMPLIES R 3.

Tengo que demostrar que esto conlleva:

Q AND R

La manera en que yo abordó el problema era:

Q 4. AND ELIMINATION on Line 1
R 5. IMPLICATION ELIMINATION on Lines 3, 4
Q AND R 6. AND INTRODUCTION on Lines 4, 5

Sin embargo, el libro de texto de la solución se deriva:

P OR Q

y, a continuación, utiliza las dos afirmaciones 2 y 3 para implicar R. sin Embargo, no es tener Q solo suficiente para implicar R y completar la prueba?

PS: pido Disculpas por la baja de formato, no estoy seguro de cómo lo puedo hacer mejor.

Answer 1

Prueba :

$$\begin{align} (1) & P \land Q && [\text{assumed}] \\ (2) & P && [\land \text{-elim(1)}] \\ (3) & Q && [\land \text{-elim(1)}] \\ (4) & P \rightarrow R && [\text{assumed}] \\ (5) & R && [\rightarrow \text{-elim}(2,4)] \\ (6) & Q \land R && [\land\text{-intro}(3,5)] \\ \end{align}$$

Por lo tanto hemos demostrado que :

$P \land Q, P \rightarrow R \vdash Q \land R$.

La tercera premisa : $Q \rightarrow R$ parece innecesario para mí.

Pero tiene usted razón; se puede reemplazar el paso (4) con $Q \rightarrow R$ y luego se derivan $R$ a partir de (3) y (4) por $\rightarrow$-elim; entonces concluir como antes.

En este caso, tenemos :

$P \land Q, Q \rightarrow R \vdash Q \land R$

y es $P \rightarrow R$ que es redundante.

El "desvío" por $P \lor Q$ parece innecesario; en este caso tenemos que derivan $P \vdash R$ $Q \vdash R$ (como en las dos versiones de la prueba anterior) y, a continuación, utilizamos $\lor$-elim : a la conclusión de $P \lor Q \vdash R$.

Por lo tanto, tenemos :

$P \land Q, P \rightarrow R, Q \rightarrow R \vdash Q \land R$

y hemos utilizado todos los locales.