Homeomorfismo de $U\subset \mathbb{R}^2 \rightarrow U$ que permuta los puntos.

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Sea U un conjunto abierto conectado, $U \subset \mathbb{R^2}$ y considerar $p_1,p_2,...,p_n \in U$ y $q_1,q_2,...,q_n \in U$ . Demuestre que existe un homeomorfismo $\varphi: U \rightarrow U$ tal que $\varphi(p_i)=q_i$ .

Esto viene de un libro de topología algebraica básica.Traté de encontrar una contradicción utilizando el hecho de que el grupo fundamental de $U\setminus \{p_i\}$ es el grupo libre en $n$ generadores pero no estoy concluyendo. Sé que un subconjunto conectado abierto en $\mathbb{R}^2$ también está conectando el camino, pero el enfoque del grupo fundamental no está funcionando.

Cualquier sugerencia será muy apreciada.

Answer 1

Dejemos que $\varepsilon >0$ y que $x\in \mathbb{R}^N$ , entonces para cualquier $y\in B_{\varepsilon}(x)$ se tiene un homeomorfismo $$ \tau_y^{x,\varepsilon} \colon B_{\varepsilon} (x) \to B_{\varepsilon} (x) $$ que mapea $x$ a $y$ y se extiende a la identidad en la frontera, por lo que se puede extender a $\mathbb{R}^N$ y llamaremos a este mapa $T_y^{x,\varepsilon}$

Dejemos que $H$ sea el conjunto de homeomorfismos $f\colon U \to U$ ese mapa $p_i$ a $q_i$ para $i= 1, \dots ,n-1$ y que $U'=\{ q \in U \mid f(p_n)=q, \ f \in H \}$ . Entonces demuestre que $U'$ es un subconjunto abierto y cerrado de $U\backslash \{ q_1, \dots , q_{n-1}\}$ . ( $U\backslash \{ q_1, \dots , q_{n-1}\}$ está conectado ya que $N >0$ ).

Dejemos que $q \in U'$ entonces elija $\varepsilon >0$ tal que $q_i\notin B_{\varepsilon}(q)\subset U'$ para $i=1, \dots, n-1$ y para cualquier $q' \in B_{\varepsilon}(q)$ entonces sabemos que $q' \in U'$ desde $q' = T_{q}^{q', \varepsilon} f(p_n) $ para algunos $f \in H$ y $T_{q}^{q', \varepsilon}\circ f \in H$ . Esto demuestra que $U'$ está abierto.

Similar para $q\notin U'$ encontramos un barrio $N$ de $q$ tal que $N\cap U'= \emptyset$ . Así, $U'$ está cerrado.