Resolver

Question

Resolver: $$\frac{2012!}{2^{2010}}-\sum^{2010}{k=1} \frac{k^2k!}{2^k}-\sum^{2010}{k=1} \frac{k\cdot k!}{2^k}$ $

Podemos tomar como esta:

Tomemos (k +1) término de th = $$\frac{(k+1)^2(k+1)!}{2^{k+1}} ; \frac{(k+1)(k+1)!}{2^{k+1}}$$ and (k-1)th term is : $% $ $\frac{(k-1)^2(k-1)!}{2^{k-1}}; \frac{(k-1)(k-1)!}{2^{k-1}}$

Qué más esta serie... por favor, sugerimos... gracias.

Answer 1

Manera posible:

$$\sum^{2010}{k=1} \frac{k^2k!}{2^k}+\sum^{2010}{k=1} \frac{k\cdot k!}{2^k}=\sum^{2010}{k=1} \frac{k!(k+1)k}{2^k}=\sum^{2010}{k=1} \frac{k(k+1)!}{2^k}$$ $$=\sum^{2010}{k=1} \frac{(k+2-2)(k+1)!}{2^k}=\sum^{2010}{k=1} \frac{(k+2)!}{2^k}-\sum^{2010}_{k=1} \frac{(k+1)!}{2^{k-1}}$$ $$=\frac{2012!}{2^{2010}}-2$$

Answer 2

El "2010" en $\frac{2012!}{2^{2010}}-\sum^{2010}{k=1} \frac{k^2k!}{2^k}-\sum^{2010}{k=1} \frac{k\cdot k!}{2^k}$ es un MacGuffin.

Si se sustituye por $n$, esto se convierte en $ \frac{(n+2)!} {2 ^ n}-\sum^ {n} {k = 1} \frac{k^2k!} {2 ^ k}-\sum^ {n} {k = 1} \frac{k\cdot k!} {2 ^ k} $.

Añadir los dos últimos términos (como Kunnysan)

$\begin{align} \sum^{n}{k=1} \frac{k^2k!}{2^k}+\sum^{n}{k=1} \frac{k\cdot k!}{2^k} &=\sum^{n}{k=1} \frac{k^2k!+k\cdot k!}{2^k}\ &=\sum^{n}{k=1} k!\frac{k^2+k}{2^k}\ &=\sum^{n}{k=1} k!\frac{k(k+1)}{2^k}\ &=\sum^{n}{k=1} (k+1)!\frac{k}{2^k}\ &=\sum^{n}{k=1} (k+1)!\frac{(k+2)-2}{2^k} \quad \text{This is Kunnysan's very ingenious key step}\ &=\sum^{n}{k=1} \frac{(k+2)!}{2^k} -\sum^{n}{k=1} \frac{(k+1)!}{2^{k-1}}\ &=\sum^{n+1}{k=2} \frac{(k+1)!}{2^{k-1}} -\sum^{n}_{k=1} \frac{(k+1)!}{2^{k-1}}\ &=\frac{(n+2)!}{2^{n}} -\frac{(2)!}{2^{0}}\ &=\frac{(n+2)!}{2^{n}} -2\ \end {Alinee el} $

así, el resultado es $2$ $n$ independiente.