¿Cómo la propiedad de límite generalmente funciona en PDE?

Question

Esto puede estar relacionado con la cuestión Es la hipersuperficie de clase $C^k$ $C^k$- variedad diferenciable?. En casi cada capítulo de la PDE libro de texto(por ejemplo, Folland la Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales), el límite de la zona de dominio se supone que tienen algunas propiedades. La mayoría de la suposición común es acerca de la "suavidad"(yo lo llamo así, ya sea adecuada o no). Por ejemplo, en el Capítulo 3 en Folland del libro, hay una frase como la siguiente:

"En este capítulo, $\Omega$ será un fijo delimitada de dominio en ${\mathbb R}^n$ $C^2$ límite de $S$,..."

Parece que esta suposición se utiliza siempre de forma implícita. Nunca puedo entender cómo es realmente el trabajo. Sólo puedo saber que superficialmente $C^2$ significa que las coordenadas de los gráficos se $C^2$compatible con la definición de la estructura diferenciable. Nada más. Hay una regla de oro que cómo esta suposición se utiliza?

Puede ser demasiado vago para hacer este tipo de pregunta sin una propuesta concreta/teorema que tiene tal suposición. Cualquier sugerencia para una buena modificación de la pregunta va a ser muy bienvenida.

Answer 1

Uno de los casos lo que necesitas es para la prescripción de los valores límite. Simplemente hay que considerar el cambio de variable de la fórmula. Para definir un $k$th orden derivado de espacio en el límite de un conjunto, es necesario que el límite para ser descrito por una función que es, al menos, $W^{k,\infty}$ (que es el de Lipschitz espacio de $C^{k-1,1}$).

Del mismo modo, la técnica más habitual en probar el límite de las estimaciones de ecuaciones en derivadas parciales es para "enderezar" el límite de modo que usted puede trabajar en el caso de que su dominio es la mitad de espacio. Para hacer este cambio de variable, y preservar fuerte soluciones de una manera uniforme, requiere de ciertos mínimos de la diferenciabilidad de hipótesis sobre el límite.

Otro caso en el que se utiliza es que para un almacén de dominio con $C^2$ límite, el límite es compacto, y por lo tanto, como un límite inferior en el radio de curvatura. Este es entonces suficiente para garantizar las mismas condiciones de interior y exterior de la esfera condiciones† en el límite, y por lo tanto le permite demostrar un fuerte principio del máximo para los de segundo orden elíptica operadores en el dominio.

† La esfera condiciones son las condiciones en la "cara" de la suavidad de la frontera. Deje $\Omega$ ser un dominio abierto y deje $x_0$ ser un punto en el límite de $\partial\Omega$. El límite de $\partial\Omega$ se dijo para satisfacer una esfera interior condición con el radio de $r$ $x_0$ si existe $x'\in\Omega$ de manera tal que la bola abierta de radio $r$$x'$, que denotamos $B_r(x')$, satisface $B_r(x') \subset \Omega$$x_0 \in \partial B_r(x')$. De inmediato ver que si $\partial\Omega$ satisface el interior de la esfera condición con el radio de $r$, entonces será también para todos los radios $r' < r$. El exterior de la esfera condición se define de forma análoga, con $x'$ $B_r(x')$ necesario para residir en el exterior de la $\Omega$.

Observar que la esfera condiciones de dar "una cara" límites en la "radio de curvatura". Por ejemplo, supongamos $\Omega = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2, y > |x| \}$. A continuación, en la esquina en el origen, $\Omega$ no satisface el interior de la esfera condición para cualquier $r$, pero satisface exterior de la esfera condiciones para cualquier positiva de la radio.

Por último, la uniformidad es simplemente la afirmación de que $\exists r_0$ st. $\forall x\in\partial\Omega$, $\partial\Omega$ satisface el interior/exterior de la esfera condición de radius $r_0$$x$.