El producto topológico de los espacios conectados por ruta está conectado por ruta$\Rightarrow\sf AC$?

Question

Hay algo muy natural, prueba de que el producto de trayectoria-conectado espacios de trayectoria-conectado:

Deje $X=\prod_{i\in I}X_i$ ser un producto de la trayectoria-conectado espacios de $X_i$. Dado $(x_i)_{i\in I},(y_i)_{i\in I}\in X$, por supuesto, para cada una de las $i$ no es un camino de $\gamma_i$$x_i$$y_i$. A continuación, la función de $\gamma(t)=(\gamma_i(t))_{i\in I}$ es un camino de$(x_i)_{i\in I}$$(y_i)_{i\in I}$.

Esta prueba utiliza la (completo) axioma de elección en la selección de la $\gamma_i$'s. Ahora lo que me gustaría saber es si, como con el teorema de Tychonoff, usted puede recuperar de CA a partir de esta declaración.

Answer 1

Sí! Asumir que cualquier producto de trayectoria-conectado espacios de trayectoria-conectado. Deje $(X_i)_{i\in I}$ ser una colección arbitraria de conjuntos no vacíos. Queremos demostrar que una función de elección en $(X_i)$.

Equipar $X_i$ con la topología discreta. Deje $SX_i$ ser la suspensión de $X_i$: de forma explícita, esto es el cociente de $X_i\times[0,1]$ por el colapso de los bordes $X_i\times\{0\}$ $X_i\times \{1\}$ a los puntos que vamos a llamar a $0_i$$1_i$. Desde $X_i$ es no vacío, $SX_i$ es la ruta de acceso conectado. Ahora, por supuesto, $\prod_iSX_i$ es la ruta de acceso conectado. Deje $\gamma:[0,1]\to\prod_iSX_i$ ser un camino de$\prod_i0_i$$\prod_i1_i$. Yo reclamo que $\gamma$ define una función de elección, de la siguiente manera.

Deje $\gamma_i:[0,1]\to SX_i$ ser inducida por el camino de $SX_i$. Deje $t_i\in(0,1)$ ser el menos tiempo, y la segunda coordenada de $\gamma_i(t_i)$ es igual a $1/2$. La primera coordenada de $\gamma_i(t_i)$ es un elemento $x_i\in X_i$. Hemos terminado: $i\mapsto x_i$ es nuestra función de elección.