Encontrar el grupo de Galois del polinomio

Question

Considere el polinomio $ f(X)= X^4 + 9 \in \Bbb Q [X]$.

Que $f$ es irreducible y $Gal (K/ \Bbb Q )$, donde $K$ es el campo División de $f$.

Para el primero de ellos usé Eisenstein kriterion $f(X+1)$ y $p=2$. $$f(X+1)=X^4+4X^3+6X^2+4X+10$$

Ahora no dividir a $2$ $1$, pero divide $4,6,4,10$. Por otra parte $2^2=4$ no divide $10$. Así que f es irreducible en $\mathbb Q$.

Pero no tengo ni idea de cómo encontrar un grupo de Galois de este.

Answer 1

En primer lugar usted debe encontrar una digna representación del campo división, es decir, $\mathbb Q(i,\sqrt{6})$.

Luego puede olvidarse el polinomio y a considerar la extensión $\mathbb Q(i,\sqrt{6})/\mathbb Q$. Creo que el grupo galois de la extensiones $\mathbb Q(\sqrt{a},\sqrt{b})/\mathbb Q$ (con $a,b$ no degenerado) es bien sabido que $V_4$. Si no se conoce a usted, usted debe calcular explícitamente esto.

Answer 2

La segunda raíces de $-9$$\pm 3i$.

Ahora usted puede escribir $3i=(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{3}{2}}i)^2$

Que los rendimientos de los dos $4th$ raíces $\pm\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{3}{2}}i$

Hacer esto mismo para $-3i$ y obtener:

$\pm\alpha:=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{3}{2}}i$ $\beta:=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{3}{2}}i$.

De ahí la división de campo de la $f$$\mathbb Q$$\mathbb Q(\alpha,\beta)$. Sin embargo, la extensión es realmente simple, debido a que $\alpha\cdot\beta=3$, por lo que tenemos

$\mathbb Q(\alpha,\beta)=\mathbb Q(\alpha)$. Por lo $[K:\mathbb Q]=4$.

Cada una de las $\mathbb Q$-automorphism está determinado por su imagen de $\alpha$.

Todas las imágenes posibles de $\alpha$ son:

$\tau_1(\alpha)=\alpha$

$\tau_2(\alpha)=-\alpha$

$\tau_3(\alpha)=\beta$

$\tau_4(\alpha)=-\beta$

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Nota:

Si $\tau_3(\alpha)=\beta$, $\tau_3(\beta)=\tau_3(\frac{3}{\alpha})=3\tau_3(\alpha^{-1})=3\tau_3(\alpha)^{-1}=\frac{3}{\beta}=\alpha$

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Porque cada autmorphism, evidentemente, ha de orden 2, tenemos que $Gal(K/\mathbb Q)\cong \mathbb Z_2\times \mathbb Z_2$

Answer 3

Aquí están los primeros pasos:

Escribir $-9$ en su trigonométricas de la forma, que es,

$$-9 = 9(\cos \pi + i \sin \pi)$$

A continuación, las raíces de su poynomial son

$$\begin{align}\xi_0 &= \sqrt [4]{9}\Big(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Big) = \sqrt{3}\Big(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Big) = \frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}\\\xi_1&=-\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}\\\xi_2&=-\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2}\\\xi_3 &=\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2} \end{align}$$

Luego de su división de campo está dado por $L = Gal (X^4 + 9, \mathbb Q) = \mathbb Q [\sqrt{6}, i]$. Ahora cualquier $\sigma \in Aut_{\mathbb Q} L$ es completa determinado por $\sigma (i)$$\sigma (\sqrt{6})$, y las posibilidades son

$$\sigma(\sqrt{6}) \in \{\sqrt{6}, - \sqrt{6}\} \ \ \text{and} \ \ \sigma(i) \in \{i, -i\}$$

A partir de esto usted necesita para trabajar en las propiedades de este grupo o de la orden de $4$. Dibujar la tabla de automorphism para la orientación, y ver si se abelian o no, todos en todas sus posibilidades se $\mathbb Z_4$$\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$.

Sugerencia: Mira cuidadosamente a la última.