Demostrar que si $a$ es un número racional y $a^2$ es un entero entonces $a$ es un entero.

Question

Pregunta sobre examen de la prueba:

Prueba por contradicción:

Supongo que $a$ no es un entero. Entonces $a=p/q$ donde $p$ y $q$ son coprimos, $q$ no es 0 y $q$ no es 1.

Entonces $a^2 = p^2/q^2$.

Esto es lo que he conseguido, mi t.a. dice yo soy en el buen camino, necesito ayudar a razonar por qué mi conclusión conduce a una contradicción.

Por favor ayuda.

Answer 1

% Toque $\ \ (p/q)^2 \in\Bbb Z\,\Rightarrow\, \color{}q\mid \color{#c00}p\cdot\color{#0a0}p\overset{\large (q,\color{#c00}p)=1}{\underset{\large \rm Euclid}\Rightarrow} q\mid\color{#0a0}p\,\Rightarrow\, \color{}p/q\in\Bbb Z\ \ $QED

Answer 2

Sugerencia Deje $m$ ser un número primo dividiendo $q$. A continuación,$m|q^2|p^2$$m|p$. No ves la contradicción?

Aquí está la evidencia completa:

Como $q \neq 1$ existe un número primo $m$ dividiendo $q$.

Entonces, como $m|q$ tenemos $m|q \cdot q=q^2$.

Como $p^2=a^2q^2$ $a^2$ es un entero, tenemos $q^2|p^2$.

Por lo tanto,$m|q^2$$q^2|p^2$. Esto implica $m|p^2$.

Desde $m$ es el primer y $m|p \cdot p$$m|p$.

Esto demuestra que $m|p$. Como $m|q$, esto se contradice con el hecho de que $p,q$ son relativamente primos.

P. S. Si quieres constructiva de la prueba, la misma idea puede ser combinado con el Teorema Fundamental de la Aritmética para demostrar que si $q^2|p^2$$q|p$.

Exactamente como anteriormente se puede probar, primero, que todos los números primos dividiendo $q$ también debe dividir $p$, y entonces usted puede demostrar que su poder en $q$ es menor que su poder en $p$. He preferido la contradicción de la prueba, ya que es mucho más corto.