¿Cómo resolver la siguiente desigualdad?

Question

Tengo el siguiente desigualdad: $$n \ge \frac{K_n^2}{\epsilon^2} \frac{\log K_n}{\epsilon},\text{ where }K_n = (\log n)^3.$$

Me gustaría resolver, incluso numéricamente.

Pensé que numéricamente se puede resolver de forma iterativa por establecimiento $K_n$ con un valor actual de $n$ y, a continuación, $n$ con un valor actual de $K_n$.

Sin embargo, tengo un raro comportamiento. Para diferentes $\epsilon$ (más específicamente para $\epsilon = 3.3409202$) entiendo que la respuesta para $n$ es 2.0127 e+06. Si aumento de $\epsilon$ por un poco, puedo obtener un número complejo. Por otros similares de las desigualdades, me gustaría conseguir una diferente, pero similar interesante "límite" de la conducta: no habría una cierta epsilon en virtud de la cual el valor de resolverse $n$ va a ser muy grande, y sobre la cual el $n$ de repente salta a un valor pequeño.

¿Hay alguna explicación para lo que está pasando aquí? Existe una mejor manera de resolver esta desigualdad?

Gracias.

Answer 1

Supongo que la solución de la desigualdad significa reemplazar el signo de la desigualdad por un signo de igualdad y resolviendo $n$. De tu post, entiendo que tiene problemas para "grandes" $\epsilon$ ($\epsilon >3.6$). La ecuación escrito explícitamente lee $$\epsilon^3 n = 3 \log^6 n \,\log \log n.$$

Resulta que la ecuación tiene dos soluciones para $\epsilon< \epsilon^*$: uno en la región de $(e,n^*)$ y la otra en el intervalo de $(n^*,\infty)$. Para $\epsilon=\epsilon^*$, la única solución es en el $n^*$ $\epsilon> \epsilon^*$ no hay (real) de la solución. Los valores de $\epsilon^*$ $n^*$ y algunas explicaciones que encontrar a continuación:

Supongamos $n\geq 1$ como la mano derecha de $n \leq 1$ es en general compleja (y también a $\epsilon>0$). El lado derecho es negativo en la región de $[1,e]$. Como el lado izquierdo es positivo, la solución a la ecuación tiene que ser para $n\geq e$.

La mano derecha crece más lento que el lado izquierdo (para $n \to \infty$). Además, la mano izquierda, en $n=e$$\epsilon^3 e$, mientras que el lado derecho es 0. Por lo tanto, es claro que habrá un máximo de $\epsilon= \epsilon^*$ para que la ecuación tiene una solución (y para $\epsilon < \epsilon^*$ habrá dos soluciones).

La condición para $\epsilon^*$ es que el lado izquierdo es una tangente (en $n^*$) a la derecha. En las fórmulas $$ \begin{align} \text{LHS}(n^*) &= \text{RHS}(n^*)\\ \text{LHS}'(n^*) &= \text{RHS}'(n^*) \end{align} $$ con $\text{LHS}(n)= \epsilon^* n$$\text{RHS}(n) = 3 \log^6 n \,\log \log n$. La solución es $$ \begin{align} \epsilon^* &= 8.60323 &n^* &= 687.328 \end{align}. $$