Integral $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\,dx$

Question

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\,dx$$

He sustituido a $x=a \tan\theta$ y terminó con $\ln|\sec\theta+\tan\theta|$ . ¿Es esto correcto?

Gracias.

Answer 1

En este caso, basta con utilizar el hecho de que el integrando está muy cerca de $|\frac 1 x |$ . Específicamente, descomponer la integral en las regiones de $-\infty$ a $|a|$ , entonces de $|a|$ a $\infty$ . Ambas son no negativas, por lo que si esta última no está acotada por encima, también lo está toda la función. Ahora, en la segunda región, $x^2\ge a^2$ Así que $\sqrt {x^2 +x^2}>\sqrt {x^2 +a^2}$ Por lo tanto $\frac 1 {\sqrt {2x^2}}<\frac 1 {\sqrt {x^2 +a^2}}$ por lo que su integral es mayor que $\int _{|a|} ^\infty \frac 1 {\sqrt 2}\cdot \frac 1 xdx=\infty $

Así que por comparación, su integral diverge

Answer 2

Sí, ahora resubir $\theta=\arctan(x/a)$ , limpiar y resolver la integral definida.

Answer 3

Tienes la antiderivada correcta. Como $\theta$ se acerca a $\pi/2$ desde abajo, tanto $\sec\theta$ y $\tan\theta$ subir a $+\infty$ . Como $\theta$ se acerca a $-\pi/2$ desde arriba, entonces $\tan\theta$ va a $-\infty$ y $\sec\theta$ va a $+\infty$ y cuando eso ocurre, el límite puede ser cualquier cosa, dependiendo de qué funciones estén involucradas. Una forma de encontrar ese límite es escribir $$ \sec\theta+\tan\theta = \frac{1+\sin\theta}{\cos\theta} $$ y entonces el numerador y el denominador van a $0$ por lo que se puede utilizar la regla de L'Hopital, y muestra que el límite es $-\infty$ . Otra forma es a través de la fórmula del medio ángulo tangente $$ \sec\theta+\tan\theta = \tan\left(\frac\theta2+\frac\pi4\right). $$

Answer 4

Para $a \gt 0$ $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\,dx = 2 \int_0^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\,dx \\ \\ \ge 2 \int_0^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+2ax+a^2}}\,dx = 2\int_0^{\infty} \frac{1}{x+a}\,dx $$