Considerar el conjunto de $$S={x\mid x\in S}.$ $
Para cada elemento $x$, o $x\in S$ o $x\not\in S.$
Si sabemos que $x$ de hecho es elemento de $S$, entonces, por definición, $x\in S$ por lo que es cierto que $x\in S$.
Si sabemos que $x\not\in S$, entonces, por definición, $x\not\in S$ por lo que es cierto que $x\not\in S$.
Pero si mi pregunta es qué elementos contiene $S$, entonces la respuesta es "no seguro."
Usted en realidad no ha definido un conjunto de allí. Ha escrito algunos símbolos y están esperando que se defina un conjunto, pero no es así.
El axioma esquema que le permite definir conjuntos como "las cosas que satisfacen cierta propiedad" es el Axioma Esquema de Comprensión: aproximadamente, si $\phi$ es un predicado y $S$ es un conjunto, entonces $\{x \in S: \phi(x)\}$ es un conjunto. Pero no puedes usar eso aquí, porque la Comprensión selecciona un subconjunto de un conjunto que ya existe; y $S$ no es ya conocido por ser un conjunto.
El axioma esquema que le permite definir los conjuntos de producción como la imagen de otro conjunto es el Axioma Esquema de Reemplazo: aproximadamente, si $f$ es una función de las clases y $S$ es un conjunto, entonces $\{f(x): x \in S \}$ es un conjunto. Pero usted no puede usar esta aquí con $f = \mathrm{id}$ porque $S$ no se conoce a priori un conjunto.
Esta es una pregunta interesante.
Un conjunto está determinado por los elementos que contiene. Ese es el contenido intuitivo de la afirmación de que dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.
Por lo que usted está preguntando acerca de es sólo $S$. Contiene lo que contiene.
Creo que estás un poco confundido por el conjunto generador de la notación $\{ \ldots | \ldots\}$.
Que la notación es generalmente invocada para la construcción de un conjunto de objetos que cumplen alguna condición. Por ejemplo $$ E = \{ x | x = 2n \text{ para algunos entero } n\} $$ crea el conjunto de los números enteros, por decirle a usted lo que significa para un entero que incluso.
En tu ejemplo, la condición de "$ x \in S$" en efecto, dirá sólo lo que ya sabemos por definición: la tautología "$x$ pertenece a $S$ si y sólo si $x$ pertenece a $S$".
Edit. @PatrickSevens respuesta dice acerca de la misma cosa como esta, pero con más cuidado y de manera más formal.
Para definir un objeto, como un conjunto de, significa proporcionar una propiedad que sólo ese objeto y ese objeto tiene.
En su caso, sin embargo, resulta que cada conjunto de $S$ tiene la propiedad de que $$S={x\mid x\in S}.$ $ esto es porque cada sistema es el conjunto de sus elementos.
Tan exitosamente no ha definido un objeto, usted no ha elegido un conjunto particular, puesto que no mantiene la propiedad del objeto una y sólo una.
No es el concepto en $\text{Set Theory}$ de un 'collectivizing relación", en otras palabras, una relación que puede ser utilizado para definir conjuntos.
A partir de cualquier conjunto de $S$,
$\tag 1 \text{There exists a set } X \text{ such that } X = \{x\mid x\in S \text{ AND } P(x) \}$
donde P(x) es una declaración acerca de la $x$ es collectivizing.
En particular, con
$\tag 2 P(x) \; :\; x = x$
se puede crear un nuevo conjunto de
$\tag 3 A = \text{Set Defined by (1) \ (Set Builder Schema)}$
Ejercicio: Demostrar que $A = S$.
El OP debería haber escrito,
Comenzando con un conjunto $S$, ¿qué elementos hay en el conjunto $S^{'} = \{x\mid x\in S\}$?
Ans: $S^{'} = S$.
En conclusión, sólo puede dar sentido a la expresión
$\tag 4 S = \{x\mid x\in S\}$ de una manera:
La expresión (4) es una declaración en la teoría de conjuntos (tal vez un abuso de la notación). El RHS construye un conjunto, y la declaración, $S = \text{RHS}$, es VERDADERO o FALSO (y aquí (4) siempre es CIERTO).
Es absurdo emplear (4) para construir un conjunto $S$'.
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