¿Es cada uno mismo-Homeomorfismo homotópicas a un diffeomorphism?

Question

Dado un suave colector $M$, es cada homeomorphism $M \to M$ homotópica a una diffeomorphism?

Hirsch "Topología Diferencial" tiene una prueba de que todos los $C^1$ diffeomorphism de suave colectores es homotópica a una $C^\infty$, pero en la medida de lo que puedo decir, no dice nada sobre el caso de $C^0$ automorfismos.

Si es falso en general, es la anterior afirmación verdadera en las dimensiones de la mayoría de las $3$? (Si de alguna manera falsa, porque de exóticos suave estructuras - es cierto para topológico colectores de apoyo a sólo una suave estructura?)

Answer 1

En las dimensiones 2 y 3 a cada homeomorphism es isotópico a un diffeomorphism (esto debe ser en Moise del libro "topología Geométrica de las dimensiones 2 y 3", se desprende también de Kirby y Siebenmann del trabajo). En la dimensión 4 se auto-homeomorphisms de simplemente conectado suave compacto colectores que no son homotópica a diffeomorphisms. Esto se desprende por ejemplo de la invariancia de las $\pm$ canónica de la clase de lisa superficies algebraicas bajo diffeomorphisms, mientras que, por Freedman del trabajo, cualquier automorphism de la intersección que se forma es inducida por un homeomorphism.

Edit. Uno de los más útiles cosa: El grupo de homeomorphisms de topológico, el colector es localmente contráctiles (con respecto a la $C^0$ topología), este es un teorema por Chernavskii (1969). Por lo tanto, si usted puede aproximar a un homeomorphism por diffeomorphisms, que será isotópica (por lo suficientemente cerca de la aproximación).

Answer 2

En muchas dimensiones, exóticos esferas son contraejemplos.

Por ejemplo, el grupo de $7$ esferas es diffeomorphic a $\mathbb{Z}_{28}$. Elija cualquier elemento $\Sigma$ que no no tienen orden de $2$, por ejemplo, un generador.

Existe una orientación revertir homeomorphism $f:\Sigma\rightarrow \Sigma$ (por lo $f$ tiene el grado $-1$), pero no hay tal orientación revertir diffeomorphism.

Dado que el grado es un homotopy invariante, esto proporciona ejemplos de lo que usted desea.

Prueba: Desde $\Sigma$ es homeomórficos a $S^7$ $S^7$ admite una orientación revertir homeomorphism, por lo que no $\Sigma$. Ahora, en el grupo de exóticos esferas, a la inversa elemento es la misma esfera con orientación invertida. Por lo tanto, si $\Sigma$ admite una orientación revertir diffeomorphism, a continuación,$\Sigma = -\Sigma \in \mathbb{Z}_{28}$, esto es, el orden de $\Sigma$ $\mathbb{Z}_{28}$ es $1$ o $2$.

$$ $$

Por supuesto, esta prueba se traslada a cualquier dimensión para la cual el grupo de exóticos esferas contiene un elemento no de orden $2$. Esto tiene que ocurrir si el fin de que el grupo no es una potencia de $2$, por lo que, de acuerdo con el gráfico en la wikipedia, hay ejemplos en la dimensión $7, 10, 11, 13, 15, 19, 20$. Véase también la OEIS secuencia para encontrar más ejemplos.

Answer 3

En primer lugar, tenga en cuenta que un homeomorphism $f$ compacto liso colectores es homotópica a una diffeomorphism si y sólo si uno puede aproximar $f$ arbitrariamente bien por diffeomorphisms.

Para $n \leq 3$, este papel de Munkres reclamaciones como un corolario de que un homeomorphism $f: M \to N$ de lisa colectores se pueden aproximar arbitrariamente por una diffeomorphism. Esta se asienta mi pregunta aquí. Hay una difícil cuestión de si o no a cada homeomorphism es isotópico a un diffeomorphism. El consenso sobre este MathOverflow de preguntas y respuestas parece ser que es verdad para $n=2$, aunque no he comprobado la declaró referencias. Ian Agol la respuesta no suena como que es cierto para $n=3$, pero no estoy seguro.

Esta nota de Stefan Müller da una prueba de que para $n \geq 5$, un homeomorphism de compacto $n$-colectores se puede aproximar arbitrariamente bien por diffeomorphisms si y sólo si el mismo homeomorphism es isotópico a un diffeomorphism.

Todos los relacionados con la pregunta en $n=4$ parece ser abierto.