¿Hay cualquier Teorema de extensión de $n$-esfera?

Question

Que $A$ ser un subconjunto cerrado de $n$ esfera, $f$ una continua sobreyectiva mapa de $A$ a $n$-esfera, podría extenderse a toda $n$-esfera? Si no, ¿qué condiciones deben añadirse para que sea verdadero?

Desde allí existe mapa sobreyectiva de $[0,\infty)$ $\mathbb{R}^n$, así a $S^n$, quiero hacer uso de ella y encontrar una prueba similar con Teorema de extensión de Tietze, pero no he pensado en nada concreto.

Answer 1

Para espacios métricos $X$ el siguiente es verdadero: supongamos $f: A \rightarrow S^n$ es continua y donde $A \subseteq X$ es cerrado. Entonces existe un subconjunto abierto $U$ $X$ que contiene $A$ tal que $f$ puede ser ampliado continuamente a $U$. Esto es decir que el $S^n$ es un ANR (=ANE) para la métrica de los espacios. (ANR =absoluta barrio de retractarse, ANE = absoluta barrio extender; un AE (Absoluta extender) =esencialmente, cualquier espacio de $X$ podemos utilizar como $[0,1]$, al igual que en Tietze). Como no se puede extender la identidad de la incrustación de $S^1 \subset B^2$ a todos los de $B^2$ (la no retracción del teorema), esto es lo mejor que uno puede esperar. Pero la dimensión $\operatorname{Ind}(B^2)= 2 > 1$ resulta ser el problema:

$X$ tiene grandes inductivo dimensiones (ver aquí por ejemplo,) $\operatorname{Ind}(X) \le n$ fib para cada subconjunto cerrado $A \subseteq X$, cada continuas $f:A \rightarrow S^n$ puede ser ampliado continuamente a $X$.

(Una prueba de este teorema, y probablemente mejor las referencias se pueden encontrar en Jan van Molino del libro, "de infinitas dimensiones de la topología, la introducción y requisitos previos", y probablemente en Engelking la "teoría de las dimensiones, finito y lo infinito") Este teorema muestra que este hecho tiene para $X = S^n$ como se pidió.