Retirada de forma diferencial

Question

Dada una forma diferencial

$$x\,dy\wedge dz-y\,dx\wedge dz+z\,dx\wedge dy$$

Debo demostrar que el es retirada por un mapa linear de determinante uno lo deja invariante. Por ejemplo, si el $\phi$ es un mapa linear y $\omega$ es una forma diferencial $\phi^*\omega=\omega$. También, me preguntaba, ¿podemos también decir que cualquier 2-forma diferenciada que es invariante bajo tracción trasera $\phi$ es múltiplo escalar de $\omega$?

Sé la definición que para un mapa lineal, tenemos que $\phi^*\omega(V)=\omega(\phi(V))$ pero no sé cómo proceder.

Answer 1

Aquí le damos una pista: para cualquier % de vectores $\mathbf v,\mathbf w\in\Bbb R^3$, $$\omega(\mathbf x)(\mathbf v,\mathbf w) = \det(\mathbf x,\mathbf v,\mathbf w).$ $ aquí estoy escribiendo $\mathbf x=(x,y,z)$.

Anexo: aquí está una sugerencia para abordar la cuestión de la singularidad. Tener en cuenta dos tipos de matrices con determinante $1$: $$\begin{bmatrix} c^2 & 0 & 0 \ 0 & 1/c & 0 \ 0 & 0 & 1/c \end{bmatrix} \qquad\text{and}\qquad \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ and start with a $2 $-form like $f dx\wedge dy$.