¿Qué significa teñir con $ \mathbb {Q}$ ?

Question

En nuestro seminario de geometría algebraica a menudo escucho que algo está "tensado" con $ \mathbb {Q}$ por ejemplo, un anillo de endomorfismos. Esta frase parece tener un significado intuitivo que no conozco. ¿Qué significa "tensor con $ \mathbb {Q}$ ¿Mal?

Answer 1

Dejemos que $M$ ser un $\mathbb{Z}$ -módulo. Como $\mathbb{Q}$ es un $\mathbb{Z}$ -(es decir, es un grupo abeliano), podemos formar el producto tensorial $M\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ que es un $\mathbb{Z}$ -(y también un $\mathbb{Q}$ -). Consiste en sumas finitas de expresiones de la forma $m\otimes q$ donde $m \in M$ y $q \in \mathbb{Q}$ y nosotros imponemos las reglas

• $(m_1 + m_2)\otimes q = m_1\otimes q + m_2\otimes q$
• $m\otimes(q_1 + q_2) = m\otimes q_1 + m\otimes q_2$
• $(km)\otimes q = m\otimes (kq) = k(m\otimes q)$ donde $k \in \mathbb{Z}$ .

Si $t \in M$ es un elemento de torsión, es decir $nt = 0$ para algunos $n \in \mathbb{N}\setminus\{0\}$ Considera que $t\otimes q$ . Tenga en cuenta que

$$t\otimes q = t\otimes\frac{nq}{n} = t\otimes \left(n\frac{q}{n}\right) = (nt)\otimes \frac{q}{n} = 0\otimes\frac{q}{n} = 0.$$

Así que cualquier elemento de torsión en $M$ desaparecen cuando $M$ está tensada por $\mathbb{Q}$ . Es decir, no aportan nada al módulo $M\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ .

Answer 2

De forma más general, si se tiene un anillo (conmutativo) $A$ , un $A$ -Módulo $M$ y un $A$ -Álgebra $B$ , se puede 'tensor $M$ con $B$ en $A$ ', obteniendo un $B$ -módulo. Esta es la forma estándar de ampliar los escalares . Un ejemplo muy conocido es el complejización de un espacio vectorial real lo que equivale a tensar el espacio vectorial con $\mathbf C$ en $\mathbf R$ .

Si $A$ es, por ejemplo, un dominio y el álgebra es su campo de fracciones $K$ , tensores $M$ con $K$ es lo mismo que construir un módulo de fracciones es decir, considerando los elementos $\dfrac ms$ , donde $m\in M$ y $s\in A\setminus\{0\}$ con la regla de que $\dfrac ms=\dfrac{ m'}{s'}\iff \exists\, r\ne 0\,$ tal que $r(s'm-sm')=0$ .

Hay una canónica $A$ -homorfismo $M\rightarrow M\otimes_A K$ definido por $m\mapsto\dfrac m1\,$ su núcleo está formado por los elementos de torsión de M.

En cuanto a los anillos de endomorfismos, existe un homomorfismo canónico: $$\operatorname{End}_A(M)\otimes_AK\rightarrow \operatorname{End}_{K}(M\otimes_AK)$$ que es inyectiva si $M$ es una entidad finitamente generada $A$ -y un isomorfismo si está finitamente presentado.