¿Existe un gráfico plano con dos incrustaciones no equivalentes en la esfera?

Question

Un gráfico plano es un gráfico con un incrustación en el plano. Este grafo puede incrustarse en el plano de dos maneras, y no están relacionadas por una homotopía de grafos, una homotopía que preserva la estructura del grafo (vértices, aristas, etc.) y no implica que las líneas se crucen entre sí.

Sin embargo, como subconjuntos de $\mathbb{R}^2$ son homotópicos sin tener que arrastrar las aristas entre sí.

Este gráfico se puede incrustar en el plano de dos maneras, y no es posible cambiar una en la otra utilizando una homotopía que no cruce las aristas entre sí.

Sin embargo, si estas incrustaciones se elevan a la esfera, se vuelven equivalentes.

Es posible tener dos incrustaciones no equivalentes de un gráfico en la esfera:

pero estos sólo se diferencian por un reflejo.

Pregunta : Dos incrustaciones de un gráfico en la esfera son equivalente si existe una homotopía de espacios topológicos de uno a otro durante la cual el gráfico no se interseca a sí mismo, posiblemente seguido de una reflexión. ¿Existe un grafo plano con dos incrustaciones no equivalentes en la esfera?

Answer 1

Considere

O-----O           O---O--O
|    /|           |   |
| O O |   versus  | O |
|/    |           |/  |
O-----O           O---O