Probar que una función definida a tramos es integrable

Question

Vamos a la función:

$$ f(x) = \begin{cases} 1 &\mbox{if } x = \tfrac{1}{n}, n\in\mathbb{N} \\ 0 & \text{otherwise} \end{casos} $$

Mostrar que $f(x)$ integrable y evaluar $$\int_0^1 f(x)\,dx$$

Por eso queremos que por cada $\varepsilon > 0$ no es un porcentaje ($\delta > 0$s.t. para cada $\Pi = \{0 = x_0, \ldots, x_k = 1\}$ tal que $\lambda(\Pi) < \delta$ tenemos que $\omega(f, \Pi) < \varepsilon$.

Vamos a definir:

$$B = \{ i \ |\ \exists x\in\Delta x_i. f(x)=1\}$$ $$G = \{ i \ |\ \forall x\in\Delta x_i. f(x)=0\}$$

Ahora,

$$\omega(f, \Pi) = \sum_i \omega(f, \Delta x_i)\Delta x_i = \sum_{i\in B} \omega(f, \Delta x_i)\Delta x_i + \sum_{i\in G} \omega(f, \Delta x_i)\Delta x_i = 0 + \sum_{i\in B} 1\cdot \Delta x_i \le \sum_{i\in B} \delta \le \delta $$

Y si elegimos $\delta < \varepsilon$, entonces hemos terminado.

Es ese derecho?

Nota: $$\lambda(\Pi) = \max(\Delta x_1, \ldots, \Delta x_n)$$ $$\omega(f, \Delta x_i) = \sup_{\Delta x_i} f(x) - \inf_{\Delta x_i} f(x)$$ $$\omega(f, \Pi) = \sum_i \omega(f, \Delta x_i) \Delta x_i$$

Answer 1

Dado $\varepsilon > 0$, vamos a $N$ ser el entero más pequeño tal que $1/N < \varepsilon/2$. Para cada una de las $i \in \{2, 3, \ldots, N - 1\}$, vamos a $B_i = [1/i - \delta, 1/i + \delta]$, y para $i = 1$, vamos a $B_1 = [1 - \delta, 1]$ donde $\delta = \frac{1}{2N^2}$. Es decir, $B_i$ es el barrio cerrado de $\frac{1}{i}$ radio $\delta$$i \neq 1$. Conjunto $$x_1 = \frac{1}{N}, x_2 = \frac{1}{N - 1} - \delta, x_3 = \frac{1}{N - 1} + \delta, \ldots, x_{2N - 4} = \frac{1}{2} - \delta, x_{2N - 3} = \frac{1}{2} + \delta, x_{2N - 2} = 1 - \delta.$$

Deje $\Pi = \{0, x_1, \ldots, x_{2N - 3}, x_{2N - 2}, 1\}$, de esta manera, $$\omega(f, \Pi) = 1 \times \frac{1}{N} + \sum_{i = 2}^{N - 1}1 \times 2\delta + \delta= \frac{1}{N} + (2N - 3)\delta < \frac{1}{N} + \frac{1}{N} < \varepsilon.$$ Por lo tanto, $f$ es Riemann-integrable.