Una matriz unitaria de tomar una verdadera matriz a otra real de la matriz, es una matriz ortogonal?

Question

Traté de demostrar que un verdadero antisimétrica de la matriz pueden ser tomadas por un ortogonales tranformation a un formulario:

donde los valores propios son $\pm i\lambda_1, \pm i\lambda_2 ... $

que es una declaración que vi en la wikipedia en http://en.wikipedia.org/wiki/Antisymmetric_matrix

También sé de una matriz antisimétrica puede ser diagonalized por una transformación unitaria, y me encontré con un unitario de la transformación de la diagonal de la matriz a la forma requerida.

Así, mediante la composición de dos transformaciones (diagonalización, a continuación, tomar la diagonal de la matriz a la forma requerida), voy a conseguir un unitaria transformación de la verdadera matriz antisimétrica a otro real de la matriz.

Mi pregunta es si esta transformación tiene que ser una verdadera matriz? si es así me puede deducir que la central unitaria de transformación es en realidad una transformación ortogonal.

Así es esto cierto?

Es un unitario de la transformación real de una matriz a otra real de la matriz necesariamente una transformación ortogonal?

EDIT: Después de recibir en el comentario aquí un contraejemplo, voy a agregar:

Como alternativa, si es que no necesariamente ortogonal, no existe necesariamente una transformación ortogonal de tomar las dos matrices para cada uno de los otros?

Answer 1

Sí. Citando Halmos del álgebra Lineal problema de la libreta de Solución (160).

"Si $A$ $B$ son reales, $U$ es unitaria, y $U^*AU = B$, entonces existe un real ortogonal $V$ tal que $V^*AV = B$.

Una sorprendente herramienta importante en la prueba de ello es la observación de que la central unitaria de equivalencia de $A$ $B$ través $U$ implica que el mismo resultado para $A^*$$B^*$. De hecho, el adjunto de la supuesta ecuación es $U^*A^*U = B^*$.

Escribir $U$ en términos de sus partes real e imaginaria $U = E + i F$. Se desprende de lo $AU = UB$ que $AE = EB$$AF = FB$, y que, por ende, $A(E+\lambda F) = (E+\lambda F)B$ para todos los escalares $\lambda$. Si $\lambda$ es real y diferente a partir de un número finito de molestos escalares (aquellos para los cuales $\det(E+\lambda F) = 0$), el real de la matriz de $S = E + \lambda F$ es invertible, y, por supuesto, tiene la propiedad de que $AS=SB$.

Continuar en el mismo camino de $U^*A^*U = B^*$: deducir que $A^*(E+\lambda F) = (E+\lambda F)B^*$ todos los $\lambda$, y, en particular, para aquellos para los cuales $E+\lambda F$ es invertible, y deducir que $A^*S = SB^*$ (y, por tanto, que el $S^*A = BS^*$).

Deje $S =VP$ ser la descomposición polar de $S$ (teorema funciona igual de bien en el caso real, como en el caso complejo, por lo que el $V$ $P$ son reales.) Desde $$BP^2 = BS^*S = S^*AS = S^*SB = P^2B,$$ so that $P^2$ commutes with $B$, it follows that $P$ commutes with $B$. Since $$AVP = AS = SB = VPB = VBP$$ and $P$ is invertible, it follows that $AV=VB$, y la prueba está completa."

No hace falta decir, que no es el camino más corto para demostrar la reducción de antisimétrica matrices...