De l'hospital de la Regla en un indeterminado diferencia

Question

Tengo la siguiente pregunta, en la que me dice que use la regla de L'Hospital:

$\lim_{x\to \infty}(-x+5\cdot ln(x))$

De eyeballing, llego a la conclusión de que el polinomio $x$ disminuirá más rápido que el logarítmica $ln$ aumentaría, lo que significa que el límite sería $-\infty$, pero no puedo ver cómo el uso de L'hopitals regla aquí como me han dicho. Sé que la idea es poner esto en un cociente, pero si hago lo siguiente:

$$-x+5\cdot ln(x) = \frac{-x^2}{x}+\frac{5x\cdot ln(x)}{x} = \frac{-x^2 + 5x\cdot ln(x)}{x}$$

Y, a continuación, tratar de tomar el límite, tengo una doble forma indeterminada de $\frac{-\infty+\infty}{\infty}$, y el uso de L'Hopitals regla aquí sólo termina en el mismo tipo de indeterminado diferencia.

Answer 1

Trate de exponentiating; escribir $$-x+5\ln x=5\ln\left(e^{-x/5+\ln x}\right)=5\ln\left(\frac{x}{e^{x/5}}\right),$$ y aplicar la regla de L'Hospital en el argumento del logaritmo.

Answer 2

$$\begin{array}{lll} \displaystyle\lim_{x\to \infty}(-x+5\ln x)&=&\displaystyle\lim_{x\to \infty}(-x+\ln x^5)\\ &=&\displaystyle\lim_{x\to \infty}(\ln(e^{-x+\ln x^5}))\\ &=&\ln\displaystyle\lim_{x\to \infty}(e^{-x+\ln x^5})\\ &=&\ln\displaystyle\lim_{x\to \infty}(e^{-x}e^{\ln x^5})\\ &=&\ln\displaystyle\lim_{x\to \infty}(x^5e^{-x})\\ &=&\ln\displaystyle\lim_{x\to \infty}\bigg(\frac{x^5}{e^x}\bigg)\\ &=&\dots\\ \end{array}$$

Answer 3

Sugerencia: es posible que desee comenzar con $-x+5\ln(x)=x\cdot\left(-1+\frac{5\ln(x)}{x}\right)$. Claramente $\lim\limits_{x\to\infty} x= \infty$, así que si usted puede demostrar que $\lim\limits_{x\to\infty} \left(-1+\frac{5\ln(x)}{x}\right)\neq 0$ usted no debería tener problemas para concluir que $\lim\limits_{x\to\infty} \left(-x+5\ln(x)\right)=-\infty$.

Editar para aclarar: de $\lim\limits_{x\to\infty} \left(-1+\frac{5\ln(x)}{x}\right)\neq 0$ uno no consigue $\lim\limits_{x\to\infty} \left(-x+5\ln(x)\right)=-\infty$, pero como $\lim\limits_{x\to\infty} \left(-1+\frac{5\ln(x)}{x}\right)\in\mathbb R$ existe, esto llevará a la solución.