La resolución de la ecuación de encontrar el valor de $u(2,t)$

Question

Vamos , $u(x,t)$ ser la solución de la unidimensional de la ecuación de onda $\displaystyle u_{tt}-4u_{xx}=0$ , $-\infty <x<\infty$ , $t>0$ , $$u(x,0)=\begin{cases}16-x^2 &\text{ , for }|x|\le 4\\0 & \text{ , elsewhere }\end{cases}$$ and $$u_t(x,0)=\begin{cases}1 &\text{ , for} |x|\le 2\\0& \text{ , otherwise}\end{cases}$$ Para $1<t<3$ , hallar la expresión de la $u(2,t)$.

Aquí , D'Alembert la solución de la ecuación de onda es $$u(x,t)=\frac{1}{2}[f(x+2t)+f(x-2t)]+\frac{1}{4}\int_{x-2t}^{x+2t}g(\theta)\,d\theta.$$ donde , $f(x)=u(x,0)$$g(x)=u_t(x,0)$.

Como , $1<t<3$ , lo $2+2t>4$, $f(2+2t)=0$. A continuación , $$u(2,t)=\frac{1}{2}[0+16-(2-2t)^2]+\frac{1}{4}\int_{-2}^2\,d\theta=\frac{1}{2}[16-(2-2t)^2]+1.$$

Es correcto? Respuesta del libro es diferente , pero no pude encontrar ningún error.

Por favor me ayudan a detectar mi error.

Edit : las Opciones son :

1. $$\frac{1}{2}[16-(2-2t)^2]+\frac{1}{2}[1-\min\{1,t-1\}].$$
2. $$\frac{1}{2}[32-(2-2t)^2-(2+2t)^2]+t.$$
3. $$\frac{1}{2}[32-(2-2t)^2-(2+2t)^2]+1.$$
4. $$\frac{1}{2}[16-(2-2t)^2]+\frac{1}{2}[1-\max\{1-t,-1\}].$$

Answer 1

A mí me parece que usted hizo algún error en los límites de la integral. Los límites en las $t$ significa que siempre tendremos $|2+2t| > 2$, pero $|2-2t| > 2$ sólo al $t\in (2,3)$. Así tenemos

$$\int_{x-2t}^{x+2t} g = \int_{2-2t}^{2+2t} {\bf1}_{|\theta|\le 2}d\theta = \begin{cases}\int_{2-2t}^{2}d\theta & \textrm{if }t\le2\\\int_{-2}^2d\theta & \textrm{if }t> 2\end{cases}.$$

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