"¿Cuántos grupos hiciste?

Question

deje $S^1$ ser el subespacio de $R^2$ dada la topología usual. Cómo muchas de las estructuras de grupo hacer $S^1$ un grupo topológico?

Answer 1

Hasta la conjugación por homeomorphisms, la única topológica de la estructura de grupo en la $S^1$ es el estándar. Aquí es el más bajo-tech prueba de este hecho que yo pueda ver.

Supongamos que tenemos un grupo continuo de la estructura en $S^1$; podemos suponer que su identidad es $1\in S^1\subset\mathbb{C}$. Esta estructura de grupo, a continuación, levanta a una estructura de grupo en la universalización de la cobertura $\mathbb{R}\to S^1$ ($x\mapsto \exp(2\pi i x)$), tal que la traducción por preimages de la identidad corresponden a la cubierta de transformaciones. Por lo tanto podemos asumir que tenemos un grupo continuo de operación $*$ $\mathbb{R}$ que tiene la propiedad de que si $n\in\mathbb{Z}$ y $x\in\mathbb{R}$, $n*x=n+x$. Vamos a mostrar que el $*$ es el conjugado de la suma por una homeomorphism $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que conmuta con el mapa de $x\mapsto x+1$; a continuación, se sigue que nuestro grupo de operación $S^1$ es conjugado a la norma de la estructura del grupo por el correspondiente homeomorphism $S^1\to S^1$.

En primer lugar, corregir cualquier $x\in\mathbb{R}$ y considerar el mapa de $R_x(y)=y*x$. Este es un homeomorphism $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, por lo que es ya sea aumentando o disminuyendo. Desde $R_x(n)=n+x$$n\in\mathbb{Z}$, nos encontramos con que $R_x$ debe ser creciente. Es decir, $y<z$ implica $y*x<z*x$.

Ahora, considere el mapa de $f(x)=x*x$$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Sabemos que $f(0)=0$$f(1)=2$, de modo que por el teorema del valor intermedio hay algunos $x_1\in (0,1)$ tal que $f(x_1)=1$. Luego hay algunos $x_2\in (0,x_1)$ tal que $f(x_2)=x_1$, y así sucesivamente. De esta manera podemos encontrar elementos $x_n$ que generan un subgrupo $Q$ que es (algebraicamente) isomorfo a la diádica racionales $D$ a través de un mapa de $\varphi:D\to Q$ tal que $\varphi(1/2^n)=x_n$. Además, en varias ocasiones la aplicación de la implicación $y<z\implies y*x<z*x$ da $\varphi$ es el fin de la preservación de.

Además, los elementos $x_n$ son positivos y disminuye, de manera que convergen en algún valor $y$. Esta $y$ será un punto fijo de $f$; es decir, $y=y*y$, lo $y=0$.

Yo ahora dicen que $Q$ es denso en $\mathbb{R}$. Supongamos que hay algún intervalo abierto $(a,b)$ que no contiene ningún punto de $Q$. Desde $a<b$,$0=a*a^{-1}<b*a^{-1}$. Así que por el párrafo anterior, podemos elegir un $N$ tal que $x_N<b*a^{-1}$. También podemos asumir $a=\sup Q\cap (-\infty,a)$ (si no, simplemente reemplace $a$ con este sup). Chooose secuencia $(q_n)$ de los puntos de $Q$ convergentes a $a$. A continuación, $(x_N*q_n)$ converge a $x_N*a$. Pero $0<x_N<b*a^{-1}$, lo $a<x_N*a<b$, lo $x_N*q_n$ debe ser de entre $a$ $b$ $n$ lo suficientemente grande. Desde $x_N*q_n\in Q$, esto es una contradicción.

Así tenemos una orden de preservación de grupo-isomorfismo $\varphi:D\to Q$ $D$ a un subconjunto denso $Q$$\mathbb{R}$. Desde $\mathbb{R}$ es Dedekind-realización de ambos $D$ y $Q$, $\varphi$ se extiende de manera única a un orden, un isomorfismo $\bar{\varphi}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Por la continuidad de las operaciones del grupo en ambos lados, $\bar{\varphi}$ es también un grupo de isomorfismo. De ello se desprende que $\bar{\varphi}$ es un isomorfismo topológico de los grupos de$(\mathbb{R},+)$$(\mathbb{R},*)$. Además, $\bar{\varphi}$ es la identidad en $\mathbb{Z}$$x*1=x+1$, lo $\bar{\varphi}$ viajes con el mapa de $x\mapsto x+1$.

Answer 2

Parece que el siguiente. Deje $G$ ser un abelian topogical grupo, cuyo espacio es $S^1$. A continuación, $G$ es un compacto conectado localmente segundo contables topológico grupo, así que por [Pon, Th. 49] es topológicamente isomorfo a un producto directo de $(S^1)^r Z$ donde $r\le\omega$ y el grupo de $Z$ es finito. Desde $G$ está conectado y tiene dimensión $1$, $r=1$ y el grupo de $Z$ es trivial, por lo que el grupo $G$ es topológicamente isomorfo al grupo $S^1$.

Referencias

[Pon] Lev S. Pontrjagin, Continuo grupos, 2ª ed., M., (1954) (en ruso).