La búsqueda de soluciones a $(4x^2+1)(4y^2+1) = (4z^2+1)$

Question

Considere la siguiente ecuación integral, distinto de cero $x,y,z$

$$(4x^2+1)(4y^2+1) = (4z^2+1)$$

¿Cuáles son algunas estrategias para buscar soluciones a este Diophantine?

Si ayuda, esto también puede ser reescrita como $z^2 = x^2(4y^2+1) + y^2$

Ya he mirado En la ecuación de $(a^2+1)(b^2+1)=c^2+1$

Answer 1

Deje $a$ ser un entero positivo.
Entonces

\begin{align} (4a^2+1)(4((2a)^2)^2+1) &= 256a^6 + 64a^2 + 4a^2 + 1 \\ & = 4(64a^6 + 16a^4 + a^2) + 1 \\ &= 4(a^2(8a^2+1)^2)+1 \\ &= 4((8a^2+1)a)^2+1 \end{align}

por lo $(a, (2a)^2, (8a^2+1)a)$ es siempre una solución.

Hay otros también.

Answer 2

Aquí es un enfoque general. Ya que el producto de la suma de dos cuadrados es en sí la suma de dos cuadrados, entonces,

$$\tag{1}(4x^2+1)(4y^2+1) = 4z^2+1$$

es equivalente a,

$$\tag{2}(2x+2y)^2+(4xy-1)^2 = 4z^2+1$$

La solución completa a la forma,

$$\tag{3}x_1^2+x_2^2 = y_1^2+y_2^2$$

está dada por la identidad,

$$\tag{4}(ac+bd)^2 + (bc-ad)^2 = (ac-bd)^2+(bc+ad)^2$$

Entonces, uno puede equiparar los términos de (2) y (4), resolver por {x, y, z}, con {a, b, c, d} elegido tal que uno de los términos en el lado derecho es igual a la unidad.

EDITADO MUCHO MÁS TARDE:

En respuesta a sus preguntas, vamos a tener una solución más simple a (3),

$$\tag{5}(6n+2)^2+(6n^2+4n-1)^2=(6n^2+4n+2)^2+1$$

Equiparar las condiciones de (2) y (5) y nos encontramos con que,

$$x = \frac{1}{2}\big(1+3n-\sqrt{3n^2+2n+1}\big)$$

$$y = \frac{1}{2}\big(1+3n+\sqrt{3n^2+2n+1}\big)$$

$$z = (6n^2+4n+2)/2$$

Para deshacerse de la $\sqrt{N}$ y resolver de la forma,

$$an^2+bn+c^2 = \square$$

simplemente se elige,

$$n = \frac{-2cuv+bv^2}{u^2-av^2}$$

para arbitrario {u, v}. Por supuesto, como usted desea entero n, usted tiene que resolver el denominador como la ecuación de Pell $u^2-av^2 = \pm 1$.

En resumen, y después de la simplificación, un número infinito de entero de soluciones,

$$(4x^2+1)(4y^2+1) = 4z^2+1$$

está dada por la más simple,

$$x = (u-3v)(u-v)$$

$$y = 2uv$$

$$z = (u^2-2uv+3v^2)^2$$

donde,

$$u^2-3v^2=1$$

P. S. es bastante fácil de encontrar otras soluciones similares a (5), y adecuadas tendría otras ecuaciones de Pell.