La comprobación de si un determinado $d(x,y)$ es una métrica

Question

Para $x,y$ $\in$ $[0,1]$, vamos $$d(x,y)= \begin{cases} |x-y|, & \text{if %#%#%} \\[2ex] 2, & \text{if %#%#%} \end{casos}$$ donde $x-y \in \mathbb{Q} $ es un conjunto de números racionales. Encontrar si $x-y \notin \mathbb{Q}$ es una métrica en $\mathbb{Q}$.

Así que lo que ya he hecho es:

1) $d$ fib $[0,1]$ $d(x,y)=0$ debido a $x=y \Rightarrow$

2) $d(x,x)=|x-x|=0$

2.1) si $x-x=0 \in \mathbb{Q} $$d(x,y)=d(y,x) \Rightarrow$$x-y \in \mathbb{Q} $,

2.2) si $y-x \in \mathbb{Q}$ $|x-y|=|y-x|$ $x-y \notin \mathbb{Q} $ - ok

2.3) si $y-x \notin \mathbb{Q} $ $2=2$ $x-y \in \mathbb{Q} $ $y-x \notin \mathbb{Q} $ o $|x-y|=2$

2.4) si $\Rightarrow x=y+2$ $x=y-2$ $x-y \notin \mathbb{Q} $ $y-x \in \mathbb{Q} $ o $2=|y-x|$

3) $\Rightarrow x=y+2$

Así que, ¿tengo que escribir todos estos y demostrar las desigualdades como: $x=y-2$ o hay alguna otra opción?

Si alguien me puede ayudar con la 3ª condición y comprobar que todas las anteriores, si yo no cometer errores (o es malo?), Yo estaría muy agradecido.

Answer 1

Si $x,y\in[0,1]$, $d(x,y)=d(y,x)$ porque $x-y\in\mathbb{Q}\iff y-x\in\mathbb Q$.

Si $x,y,z\in[0,1]$, tenemos varias posibilidades:

• si $x-y,y-z\in\mathbb Q$, $x-z\in\mathbb Q$ y es claro, entonces, que el $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$.
• si $x-y\in\mathbb Q$$y-z\notin\mathbb Q$, $x-z\notin\mathbb Q$ y$$d(x,z)=2\leqslant|x-y|+2=d(x,y)+d(y,z).$$The same argument holds if $x-y\noen\mathbb P$ and $y-z\in\mathbb Q$.
• Si $x-y,y-z\not\in\mathbb Q$$x-z\in\mathbb Q$,$$d(x,z)=|x-y|\leqslant4=d(x,y)+d(y,z).$$
• Si $x-y,y-z,x-z\not\in\mathbb Q$,$$d(x,z)=2\leqslant2+2=d(x,y)+d(y,z).$$

Answer 2

La prueba de la desigualdad de triángulo. Se consideran dos casos.

1) Si $x-y\in\mathbb{Q}$ $x,y\in [0,1]$ implica que el$|x-y|\leq 2$$|x-y|\leq d(x,y)$. Por lo tanto $$d(x,y)=|x-y|\leq |x-z|+|z-y|\leq d(x,y)+ d(y,z).$$

2) Si $x-y\not\in\mathbb{Q}$ $x-z\not\in\mathbb{Q}$ o $y-z\not\in\mathbb{Q}$. Por lo tanto, $d(x,z)=2$ o $d(y,z)=2$ y $$d(x,y)=2\leq d(x,z)+ d(y,z).$$

P. S. podemos reemplazar $2$ con cualquier número mayor o igual a la longitud del intervalo de $[0,1]$ (de lo contrario el triángulo de la desigualdad no se sostiene).