Factorizaciones primarias que dan lugar a hiperrectángulos con diagonales enteras

Question

He estado investigando $n$ -rectángulos de dimensiones (también conocidos como hiperrectángulos ) con medidas dadas por cualquier factorización primaria sin orden de un número natural, donde la diagonal es de una longitud entera.

Denotémoslos como rectángulos perfectos .

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Evidentemente, todo número primo da lugar a un número perfecto ( $1$ -de la dimensión del rectángulo.

Como definición más generalizada - cualquier número cuya factorización primaria está dada por $\overbrace{{p}\times\dots\times{p}}^\text{N times}$ con $N$ siendo un cuadrado produce un perfecto $N$ -rectángulo de dimensiones. Por ejemplo:

$81$ produce un perfecto $4$ -rectángulo con longitud diagonal $\sqrt{3^2+3^2+3^2+3^2}=6$ .

Sin embargo, hay otros tipos de números que dan lugar a rectángulos perfectos. Por ejemplo:

$48$ produce un perfecto $5$ -rectángulo con longitud diagonal $\sqrt{2^2+2^2+2^2+2^2+3^2}=5$ .

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He estado buscando secuencias de números consecutivos que den lugar a rectángulos perfectos.

Por ejemplo, $16$ y $17$ producen rectángulos perfectos con longitudes diagonales $4$ y $17$ respectivamente.

$2729-2730-2731$ producen rectángulos perfectos con longitudes diagonales $2729-16-2731$ respectivamente.

Buscando hasta $16$ millones, no he podido encontrar ninguna secuencia más larga que $3$ números.

Además, he observado que en cada secuencia de $3$ números, uno o dos de ellos son primos.

Así que mi pregunta es: ¿se ha conjeturado, demostrado o refutado alguna de estas dos afirmaciones?

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A continuación se ofrece el código C (por si alguien desea ampliar el alcance de la prueba):

#include <math.h>
#include <stdio.h>

#define RANGE 16000000
#define SEQUENCE_LEN 4

typedef unsigned char      uint08;
typedef unsigned int       uint32;
typedef unsigned long long uint64;

uint08 sieve[RANGE] = {0};
uint32 prime[RANGE] = {0};
uint32 numOfPrimes  =  0 ;

void CalcAuxiliaryData()
{
    uint32 i,j;

    uint32 root = (uint32)sqrt((double)RANGE);

    for (i=2; i<=root; i++)
    {
        if (sieve[i] == 0)
            for (j=i+i; j<RANGE; j+=i)
                sieve[j] = 1;
    }

    for (i=2; i<RANGE; i++)
    {
        if (sieve[i] == 0)
            prime[numOfPrimes++] = i;
    }
}

uint32 CalcDiagonalLen(uint32 n)
{
    uint32 i;

    uint64 square;
    uint32 length;

    if (sieve[n] == 0)
        return n;

    square = 0;
    for (i=0; i<numOfPrimes && n>1; i++)
    {
        uint32 p = prime[i];
        uint64 pp = (uint64)p*p;
        while (n%p == 0)
        {
            n /= p;
            square += pp;
        }
    }

    length = (uint32)sqrt((double)square);
    if ((uint64)length*length == square)
        return length;

    return 0;
}

int main()
{
    uint32 i;

    uint32 sequence_len;
    uint32 diagonal_len;

    CalcAuxiliaryData();

    sequence_len = 0;
    for (i=2; i<RANGE; i++)
    {
        diagonal_len = CalcDiagonalLen(i);
        if (diagonal_len == 0)
        {
            sequence_len = 0;
        }
        else
        {
            printf("%u %u\n",i,diagonal_len);
            if (++sequence_len == SEQUENCE_LEN)
                break;
        }
    }

    return 0;
}

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ACTUALIZACIÓN:

Utilizando este consejo de aplicación He verificado ambas afirmaciones hasta $1.2$ mil millones.

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ACTUALIZACIÓN $2$ :

Comprobación de hasta $2$ mil millones, he contado $1585$ trillizos:

• El triplete trivial $1-2-3$
• $2$ trillizos de la forma $C-C-P$
• $4$ trillizos de la forma $P-C-C$
• $7$ trillizos de la forma $C-P-C$
• $1571$ trillizos de la forma $P-C-P$

También he encontrado el siguiente cuarteto, que refuta la primera conjetura:

• $A_{1776463301}=\sqrt{1776463301^2}=1776463301$
• $A_{1776463302}=\sqrt{2^2+3^2+173^2+857^2+1997^2}=2180$
• $A_{1776463303}=\sqrt{1776463303^2}=1776463303$
• $A_{1776463304}=\sqrt{2^2+2^2+2^2+7^2+11^2+179^2+16111^2}=16112$

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ACTUALIZACIÓN $3$ :

Hasta $4$ mil millones, he contado $28$ pares de no-primas consecutivos que producen rectángulos perfectos, pero no he encontrado un solo triplete de no-primas consecutivos que produzca rectángulos perfectos.

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Answer 1

Yo conjeturo lo contrario: para cualquier $k$ debería haber infinitos enteros $n$ tal que $n,n+1,n+k-2$ todos producen rectángulos perfectos. De hecho, estos ejemplos pueden evitar los primos por completo.

Dado un gran número $x$ consideremos todos los primos menores que $x^{1/k}$ ; hay aproximadamente $k x^{1/k}/\log x$ tales primos por el teorema de los números primos. Ahora consideremos todos los números que son el producto de exactamente $k$ primos distintos menores que $x^{1/k}$ ; hay aproximadamente $\frac1{k!} ( k x^{1/k}/\log x) ^k \approx C_1(k) x/(\log x)^k$ tales números, y cualquiera de ellos es menor que $x$ . (La constante principal, que depende de $k$ no importará mucho).

Para cualquier número de esta forma, la suma de los cuadrados de los factores primos es como máximo $kx^{2/k}$ . Asumiendo la heurística de que estas sumas de cuadrados se distribuyen aleatoriamente, la "probabilidad" de que la suma de los cuadrados de los factores primos sea un cuadrado perfecto es al menos $\frac1{\sqrt k} x^{-1/k}$ . Por lo tanto, debería haber alrededor de $C_2(k) x^{1-1/k}/(\log x)^k$ números, que consisten en $k$ pequeños primos multiplicados juntos, que dan lugar a rectángulos perfectos. En otras palabras, la probabilidad de que un número elegido al azar de $[1,x]$ tiene esta propiedad es sobre $C_2(k) x^{-1/k}/(\log x)^k$ .

Si además asumimos la heurística de que estos números están distribuidos aleatoriamente en el intervalo $[1,x]$ entonces la probabilidad de cualquier $n,n+1,\dots,n+k-2$ compuesto en su totalidad por números enteros de esta forma es de aproximadamente $C_3(k) x^{-(k-1)/k}/(\log x)^{k(k-1)}$ . Sumando esta probabilidad sobre $1\le n\le x$ descubrimos que el número esperado de conjuntos de $2k-1$ números consecutivos con esta propiedad es de aproximadamente $C_4(k) x^{1/k}/(\log x)^{k(k-1)}$ que en particular va al infinito con $x$ .

(Hay que hacer algunas ligeras modificaciones de este argumento: por ejemplo, cada segundo número de la secuencia debe ser un múltiplo de 2, cada tercero debe ser un múltiplo de 3, y así sucesivamente para todos los primos menores que $k$ . Creo que se puede incorporar esta modificación sin ningún cambio sustancial en la heurística general).