Álgebras de Lie de diferenciación

Question

Me di cuenta de que las caracterizaciones de las álgebras de Lie de la matriz Mentira grupos pueden ser obtenidos por la diferenciación. Por ejemplo:

$$O(n) = XX^t = \mathbb{1} \implies \mathfrak{o}(n) = X + X^t = \mathbb{0}$$

$$SO(n) = XX^t = \mathbb{1},\; \text{det}(X) = 1 \implies \mathfrak{so}(n) = X + X^t = \mathbb{0},\; tr(X)=0$$

pero funciona también para $U(n), SU(n), Sl(n,\mathbb{K})$.

Hace este trabajo por un general de la Mentira de grupo?

Answer 1

La matriz de los grupos puede ser definida como un nivel regular de conjuntos de funciones de $f: GL(n) \to M$ donde $M = \mathbb R$ (por ejemplo, para $SL(n)$) o $M = n\times n$ matrices (por ejemplo, para $O(n)$). En general, si usted tiene un mapa de $f: M \to N$ $y \in N$ es un valor regular, a continuación, $f^{-1}(y)$ es un submanifold y $T_xf^{-1}(y) = \ker df_x : T_x M \to T_y N$. Así, en el caso de $O(n)$, por ejemplo, está la diferenciación de la función de $X \mapsto XX^t$ a la identidad, a ver que su Mentira álgebra (identificable con $T_e O(n)$ es sesgar-matrices simétricas.

Answer 2

Una Mentira grupo también es una variedad diferenciable; en particular, podemos definir su espacio de la tangente a la identidad. Intuitivamente, el espacio de la tangente es el conjunto de las direcciones $v$ de manera tal que si usted comienza en la identidad en $G$ y mover infinitesimalmente en la dirección $v$, de permanecer en el $G$.

Digamos que $G$ está definido por la desaparición de alguna función derivable $f$: lo $G = \{ X: f(X)=0\}$. El espacio de la tangente consta de matrices $M$ tal que $f(I + \epsilon M) =0$ a primer orden en $\epsilon$: el uso de la expansión de Taylor y el descuido más términos, lo que queremos es que el $df_I(M)=0$ donde $df_I$ es el total de la derivada en la identidad. Elementos del núcleo del total de la derivada son exactamente aquellos vectores que pueden ser realizadas como $\gamma'(0)$ para algunos diferenciable $\gamma: (-1,1)\to G$: la definición habitual de espacio de la tangente es la de clases de equivalencia de funciones $\gamma$ por la relación $\gamma_1\sim \gamma_2$ fib $\gamma_1'(0)=\gamma_2'(0)$.

La Mentira de álgebra asociada a $G$ tiene como subyacente espacio vectorial en el espacio de la tangente a la identidad, por lo que realmente se obtiene mediante la diferenciación y la configuración de la total derivada igual a cero.

Mirando a su $O(n)$ ejemplo, el"$f$"$f(X)=XX^t-I$. Para encontrar el total de la derivada en la identidad, debemos tener $f(I+\epsilon M) = I + \epsilon df_I(M) +$ términos de orden superior. A pedido de uno en epsilon tenemos $f(I+\epsilon M)= \epsilon (M + M^t)$, por lo que el total de la derivada en la identidad es $M+M^t$. La desaparición de esta es precisamente la condición que dio para estar en la Mentira de álgebra de $O(n)$.