¿Cómo saber si una función es integrable o no?

Question

Digamos $$ h(x) = \begin{cases}x^2,& x \in \mathbb {Q}\\-x^2,& x \notin \mathbb{Q}\end{cases} $$

¿Hay alguna diferencia entre integrable de Riemann e integrable?
Y puedo decir que la función contigua es integrable y por lo tanto la función anterior no lo es integrable en [-1,1]?

Answer 1

Una función es Riemann Intrgrable si y sólo si el conjunto de sus puntos de discontinuidad tiene medida cero.

En su caso, la función $h$ es discontinua en todas partes en $[-1,1]$ excepto a partir de cero. La medida de $[-1,1]\setminus \{0\}$ que es el conjunto de los puntos de discontinuidad de $h$ es $1\neq 0$ . Por lo tanto, la función no es integrable de Riemann.

Cuando nos referimos a una función integrable en las nociones de teoría de la medida, solemos referirnos a una función medible $f$ definida en un espacio de medidas $X$ tal que $\int_X|f(x)|dx<\infty$ (donde la última integral es la integral de Lebesgue). En su caso, la función $h$ es medible y está limitada por $1$ . Por lo tanto: $$\int_{[-1,1]}|h|\leq \int_{[-1,1]}1=2<\infty$$ por lo que la función es Lebesgue integrable

Answer 2

La función es igual en casi todas partes a $k(x) = -x^2$ y (como usted señala) las funciones continuas son integrables. Así que su función es Lebesgue integrable.

Junto con la respuesta de Dimitrios vemos: hay una diferencia entre integrable de Riemann e integrable de Lebesgue.