Sin el cálculo de $A^4$ demostrar que $A^4\in Span\{A,I\}.$

Question

Vamos $$A= \begin{bmatrix} -1 & 6 & -9 \\ -11 & 24 & -33 \\ -6 & 12 & -16 \\ \end{bmatrix} $$ a) Sin calcular $A^4$ demostrar que $A^4\in Span\{A,I\}.$

b) Escribir $A^n$ en forma de $a_nA+b_nI$

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Si la matriz de $A^4\in Span\{A,I\}$$A^4=\alpha A+ \beta B$. Yo tenía una idea para encontrar los autovalores y autovectores de a $A$, por lo que puedo diagonalize la matriz y decir que $A^4=SD^4S^{-1}$. Sin embargo, no estoy seguro de que es el que se hace sin el cálculo de $A^4$.

Gracias a todos de antemano.

Answer 1

Observe que $A^2=5A-6I$.

Por tanto, para cualquier $n>0$, $A^n \in Span \left\{ A,I\right\}.$

Para ver esto, por ejemplo, para calcular el $A^3$, tenemos

$A^3=5A^2-6A=5(5A-6I)-6A$.

Answer 2

El uso de esta $A^2=5A-6I$ y calcular $A^4$. $$A^4=65A-114I$$

Answer 3

El polinomio característico de a $A$ es

$$ p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \lambda^3 - 7\lambda^2 + 16\lambda - 12 = (\lambda - 3)(\lambda - 2)^2. $$

Dado que la parte (b) se le pide que muestre, en particular, que $A^2 \in \operatorname{span} \{ I, A \}$, el polinomio mínimo de a $A$ deben ser de grado en la mayoría de los dos. Desde el polinomio mínimo de a $A$ debe tener el mismo lineal de factores como el polinomio característico, entonces debe tener $m_A(\lambda) = (\lambda - 3)(\lambda - 2) = \lambda^2 - 5\lambda + 6$. Este hecho se tiene:

$$ (A - 3I)(A - 2I) = \begin{pmatrix} -4 & 6 & -9 \\ -11 & 21 & -33 \\ -6 & 12 & -19 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 6 & -9 \\ -11 & 22 & -33 \\ -6 & 12 & -18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

(usted puede deducir esto sin calcular por darse cuenta de que $1 = \operatorname{rank}(A - 2I) = 3 - \dim \ker(A - 2I)$ $A$ es diagonalizable y el mínimo de polinomio debe ser $(\lambda - 3)(\lambda - 2)$).

Por lo tanto, $A^2 = 5A - 6I$ y en este punto, usted sabe que $A^n \in \operatorname{span} \{ I, A \}$ todos los $n \geq 0$ (y, en particular,$n = 4$) sin explícitamente el cálculo de $A^4$ o de los coeficientes. Por último, si escribimos $A^n = a_n A + b_n I$ debemos tener

$$ A^{n + 1} = a_{n+1} A + b_{n+1}I = A(A^n) = A(a_n A + b_n I) = a_n A^2 + b_n A = a_n (5A - 6I) + b_n A = (5a_n + b_n) A - (6a_n) I. $$

Desde $A,I$ son linealmente independientes, obtenemos $a_{n+1} = 5a_n + b_n, b_{n+1} = -6a_n$ que es una relación de recursividad que puede ser resuelto de forma explícita, junto con las condiciones iniciales $a_1 = 5, b_1 = -6$.