¿Qué condiciones son necesarias en $a,b,c,d$, de modo que la transformación de Möbius $w=\frac{az-b}{cz-d}$ sólo tiene un punto fijo?

Question

Pregunta:

¿Qué condiciones son necesarias en $a,b,c,d$, de modo que la transformación de Möbius $w=\frac{az-b}{cz-d}$ sólo tiene un punto fijo?

Intento: Examinamos $$ z=\frac{az-b}{cz-d}$$ para encontrar que cualquier punto fijo de una transformación de Möbius debe satisfacer $$cz^2 + (d-a)z - b =0.$$ Por lo tanto, hay uno o dos puntos fijos en el $\mathbb{R}$ O dos puntos fijos en el $\mathbb{C}$ que se caracterizan por $$z = \frac{(a-d) \pm \sqrt{(d-a)^2+4bc}}{2c}.$$ Por lo tanto, sólo puede haber un punto fijo cuando el discriminante $(d-a)^2+4bc$ es cero. Además, si sólo hay un punto fijo, debe ser en $\mathbb{R}$.

Puede alguien con más conocimientos que me comente si mi planteamiento es correcto? Hay una mejor manera de resolver esta cuestión?

Answer 1

En primer lugar, se le ha olvidado la posibilidad de que $c=0$. Luego de obtener un único punto fijo al $a\neq d$.

El resto de su respuesta es correcta, pero una alternativa es tener en cuenta que el $(d-a)^2+4bc = (a+d)^2 -4(ad-bc)$. Eso es interesante porque $a+d$ es la traza y $ad-bc$ es el determinante de la matriz:$$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$

Nota, si usted permite que $\infty$ en su dominio y rango, entonces el caso $c=0$ es diferente,$a=d$$b\neq 0$. Esta es una respuesta más fuerte, porque lo que significa es que la solución general de ($c=0$ o $c\neq 0$) es de la forma:$$A = U\begin{pmatrix}x&y\\0&x\end{pmatrix}U^{-1}$$ with some invertible matrix $U$, with $xy\neq 0$. Eso es porque el cero el valor del discriminante significa que los autovalores de la matriz debe ser el mismo, y la matriz no puede ser una matriz diagonal o después de la transformación es la identidad.

Esto puede ser indicado brevemente como: $A$ no es diagonalizable sobre $\mathbb C$.