Si $\frac{dy}{dt} = F(t,y)$ $F$ $\partial_2F$ continua en un rectángulo, entonces existe una única solución local en cualquier punto particular dentro del rectángulo. Esto es, en los textos fundamentales. Para $F(t,y) = f(t)-g(y)$ continuidad requiere de continuidad de $f$$g$, mientras que la continuidad de la derivada parcial de $F$ con respecto al $y$ requieren de la continuidad de la $g'$. Por lo tanto la continuidad de la $f$ continuo y la diferenciabilidad de $g$ suficiente para demostrar la existencia de una solución local. Por supuesto, esto no es una expresión analítica. Dicho esto, la prueba de este teorema proporciona una forma iterativa generado aproximación.
Alternativamente, se podría argumentar que por Pfaff del teorema existe un factor de integración que reformula el problema como una ecuación exacta. Así, puede reescribir $dy = [f(t)-g(y)]dt$
$Idy+I[f(t)-g(y)]dt=dG$ para algunos la función $G$. Entonces la solución es simplemente $G(t,y)=k$ que localmente proporciona funciones que resolver su DEqn. Por supuesto, el diablo está en los detalles de cómo calcular el $I$. La respuesta para la mayoría de nosotros está la magia.
Probablemente una mejor respuesta a su problema, es mirar el problema de Bernoulli. Allí se realiza una sustitución que se encarga de los problemas que se ven un montón de cosas como la que has estado.
