Prueba de relación de forma compacta generado espacios

Question

Yo últimamente buscado la definición de ser un compacto genera espacio en la Wikipedia:

Definición: Un espacio topológico $X$ es generado de forma compacta si se cumple la siguiente condición: Un subespacio $A$ es cerrado en $X$ si y sólo si $A \cap K$ es cerrado en $K$ para todos los subespacios compactos $K \subset X$.

En la segunda frase dice: "de manera Equivalente, se puede reemplazar cerrado con abrir en esta definición". He intentado mostrar que esto es de hecho equivalente, pero no lo he conseguido. Bascially usted tiene:

$A$ abierto $\iff$ $(X\backslash A)$ cerrado $\iff \forall K $ compacto: $K \cap (X\backslash A)$ cerrado

Lo que uno necesita es tirando de la diferencia de conjuntos, a saber:

$\forall K $ compacto: $K \cap (X\backslash A)$ cerrado $\iff \forall K $ compacto: $X\backslash(K \cap A) $ cerrado $\iff \forall K $ compacto: $K \cap A$ abierto.

Pero es la primera equivalencia verdad? No he podido encontrar una justificación para ello, probablemente no estoy viendo un simple argumento aquí.

Answer 1

No es necesario que primero la equivalencia. $K\cap(X\setminus A)$ es cerrado en $K$ fib

$$K\setminus\Big(K\cap(X\setminus A)\Big)=K\cap A$$ is open in $K$.