Espacios de admisión de cada singleton como la puesta a cero

Question

Estoy buscando clases de espacios de $X$ tiene la propiedad de que para cada una de las $x_0 \in X$ no es un mapa continuo $f:X \to \mathbb R$ tal que $Z(f) := f^{-1}(0) = \lbrace x_0\rbrace$. Algunos ejemplos son:

• Métrica espacios con $f(x) = d(x,x_0)$
• Espacios discretos

¿Sabes de otras clases de espacios con esta propiedad ?

Answer 1

Cada submetrizable espacio tiene la propiedad deseada, donde un espacio de $\langle X,\tau\rangle$ es submetrizable iff hay un grueso metrizable topología $\tau'$$X$, es decir, un metrizable topología tal que $\tau\supseteq\tau'$. Más generalmente, si $\langle X,\tau\rangle$ es cualquier espacio con la propiedad en cuestión, y $\tau'\supseteq\tau$ es más fina que la topología en $X$, $\langle X,\tau'\rangle$ también tiene la propiedad. La prueba es trivial: cada $\tau$-continua $f:X\to\Bbb R$ es automáticamente $\tau'$-continuo. Esto proporciona una gran cantidad de no-metrizable ejemplos, muchos de los cuales ni siquiera son regulares.

Answer 2

Si el espacio de $X$ es completamente regular y un punto de $x_0\in X$ $G_\delta$- punto. a continuación, este punto es un ajuste a Cero de $X$.esto significa que cada espacio completamente regular con la propiedad adicional de que, en cada punto de la misma es $G_\delta$ es en la clase que usted pidió.